Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.

Теорема 1. Если m £ f(x,y) £ M на D, то $ cÎ[m,M] : Производные и дифференциалы высших порядков Дифференциальное исчисление функции одной переменной

  = c mD.

Доказательство (для случая mD¹0).

m mD =dxdy £  £ dxdy = M mD. Откуда

 и c=. Примеры решения задач курс лекций Функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD: Векторное поле Примеры решения и оформления задач контрольной работы

  dxdy = f(x)mD.

Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1ÈD2 (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и

  dxdy =  dxdy +  dxdy .

Доказательство. Пусть D¢ - разбиение D1. Дополним это разбиение до разбиения D всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась l(D) = l(D¢) . В этом случае S(f,D¢) –s(f,D¢) £ S(f,D)-s(f,D) , откуда следует интегрируемость на D1. Аналогично доказывается интегрируемость на области D2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм s( f, D¢ m,X m), s( f,D¢¢ m, X m) для D1 и D2 и их объединение Dm = D¢ m +D¢¢ m. Для таких сумм получим

s( f,Dm, X m) = s( f, D¢ m, X m) + s( f,D¢¢ m, X m).

Переходя к пределу в последнем равенстве получим требуемое соотношение.

Теорема (Неравенство Коши-Буняковского)

Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство

.

Доказательство.

0£=+2+l2.

Так как это справедливо для любых l, то -£ 0, откуда и следует требуемое неравенство.

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле .

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

 Тогда если:

1) j(t)- дифференцируемая и j¢(t) непрерывна на отрезке [a, b];

2) отрезок [a, b] отображается на [a, b];

3) j(a) = а, j(b) = b , то справедлива формула

  (13)

Тогда

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач