Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 

  Интегралы, зависящие от параметра

Непрерывность интеграла от параметра Изменить порядок интегрирования Примеры решения задач типового расчета

Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)´[c,d] , интеграл F(y) =  сходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.

Регуляризация решения При решении систем методом Гаусса желательно предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений/

Описание метода Гаусса для вырожденных систем. Хочется еще раз подчеркнуть, что метод Гаусса приспособлен и для решения вырожденных систем.

Доказательство.

|F(y+Dy) - F(y)| =£++. Формула Грина Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного e  выбором h в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора h первый интеграл может быть сделан меньше заданного e выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции.

д) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка .

. Пусть . Имеем . Известно, что  сходится при  (см. пример 3). Следовательно, по теореме сравнения интеграл  сходится, а значит, интеграл   сходится абсолютно при .

. Пусть теперь . В интеграле  сделаем замену переменной , или . Это возможно, так как

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

 а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

 б) строго возрастает;

в) .

Тогда

.  (20)

) Докажем сначала, что интеграл  расходится при . Используем следствие из критерия Коши:

если существует такое , что для любого  существуют такие , что выполняется неравенство

,  (21)

то интеграл  расходится.

Имеем

,  (22)

Если , то . Имеют место неравенства . Отсюда и из (22) получим

. (23)

Теперь в (21) положим . Используя (23), имеем

.

Напомним, что .

Таким образом, для любого  существуют  такие, что выполняется неравенство (21) при .

Итак, при  интеграл  расходится, а значит, расходится и интеграл  (см. (20)).

) Докажем теперь, что интеграл  сходится условно при .

Для доказательства сходимости интеграла  используем признак Дирихле:

1) функция  непрерывна на промежутке  и ее первообразная  ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает; действительно,

 

отсюда следует, что возрастает, следовательно,  убывает;

3) .

Тогда интеграл  сходится.

Докажем теперь, что интеграл  расходится . Из (23) имеем

.  (24)

Известно, что интеграл  расходится при  (см. пример 1), а интеграл  сходится при . Следовательно, интеграл  расходится при . Отсюда, из (24) и теоремы сравнения следует, что интеграл  расходится при .

В результате имеем: интеграл  сходится, а интеграл  расходится. Значит, интеграл  сходится условно, а вместе с ним сходится условно и исходный интеграл  при  (доказать).

Ответ: интеграл  сходится абсолютно при , сходится условно при , расходится при .

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач