Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 

  Интегралы, зависящие от параметра

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Рассмотрим интеграл

  (1)

, yÎY.

Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

. Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого hÎ[a,b) интеграл  (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие  не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Постановка задачи: По заданной таблице зависимости некоторой величины Y от аргумента X определить коэффициенты линейной функции (или функции другого вида), которая наилучшим образом отражает эту зависимость.

Методы решения систем линейных уравнений можно разбить на две группы: точные методы и приближенные.

 

Определение. Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

"e >0$d >0"hÎ(b-d,b)"yÎY:  (для интеграла 2-го рода)

"e >0$M"hÎ(M,+µ)"yÎY:  (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (для интеграла 2-го рода)

Если $g(x) на [a,b), интегрируемая на любом [a, h), hÎ(b-d,b) такая, что

1) |f(x,y)| £ g(x), a £ x < b, "yÎY

2)  сходится ,

то интеграл (1) сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств .

в) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода. Используя признак Дирихле, докажем, что он сходится. Действительно,

.

Выполняются следующие условия:

1) функция  непрерывна на промежутке ; ее первообразная  ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает ;

3) .

Точно так же, как в задаче б) доказывается, что интеграл  расходится.

Таким образом, получаем

Ответ: интеграл  сходится условно.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач