Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 

  Интегралы, зависящие от параметра

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f и  непрерывны в [a,b]´ [c,d] , то F(y) =

дифференцируема на [c,d] и . Функциональные ряды

Доказательство.

==, 0<q <1. Тогда

£. лист подарков

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции  следует требуемое утверждение. Криволинейный интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике [a,b]´ [c,d], содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на [a,b]´ [c,d], x1(y), x2(y) имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) =  также имеет производную

+-.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(y,u,v) = . Для нее существуют непрерывные частные производные (не очевидным является непрерывность функции ). Дифференцируя сложную функцию F(y) = = Ф(y, x1(y), x2(y)) получим требуемое равенство. Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции  .

 

Разберем пример 5.1 нахождения наилучшей линейной функции.Пусть зависимость задана таблицей.

Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. При поиске функций другого вида (3-8) задача сводится к рассмотренной выше задаче нахождения наилучшей линейной функции.

Задачи 7, 8. Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость.

а) .

Решение. Исследуем интеграл  на абсолютную сходимость. Обозначим

.

Особая точка подынтегральной функции . Поэтому интеграл  разобьем на два интеграла

.  (17)

Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода. Имеем

  при . Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получаем, что интеграл  сходится (см. пример 3).

Интеграл   - несобственный интеграл 1-го рода. Имеем

.

Используя теорему сравнения и результат примера 1, отсюда получаем, что интеграл   сходится.

Таким образом, эти результаты и (17) дают, что интеграл  сходится. Значит,

Ответ: интеграл  сходится абсолютно.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач