Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 

  Интегралы, зависящие от параметра

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Непрерывность интеграла от параметра Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда

Рассмотрим интеграл

F(y) =

для области вида

Где f определена в области D (замкнутая), x1(y), x2(y) непрерывные функции, определенные на [c,d].

Теорема. Если f непрерывна на D , x1(y), x2(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на [c,d].

Доказательство. Функция f доопределим на прямоугольнике [a,b]´ [c,d] содержащем область D, как показано на рисунке, следующим образом: положим f(x,y) = f(x1(y), y) при фиксированном y Î [c,d] и "xÎ[a, x1(y)], аналогично в правой части области f(x,y) = f(x2(y), y) при y Î [c,d] и "xÎ[ x2(y), b]. Доопределенную функцию по прежнему будем обозначать f(x,y). Эта функция будет непрерывна на [a,b]´ [c,d].

Далее |F(y+Dy) - F(y)| =   = £ ++£ M|Dx1|+(b - a)e + M|Dx2|.

Здесь используется ограниченность функции f и ее равномерная непрерывность.

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд, на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:.

Среди графических рассмотрим метод Эйлера. Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х).

Определение. Пусть функция f(x,y) определена на [a,b] для любого yÎY . Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y0 если

"e >0$d >0"xÎ[a,b]"yÎUd(y0): |f(x,y) - g(x)|<e .

Можно доказать, что если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y0 , то функция g(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство. Выпишем неравенства

|g(x)-g(x0)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x0,y)-g(x0)+ f(x0,y)|£ | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x0,y)|+ |g(x0)- f(x0,y)|. Для заданного e сначала выбираем d окрестность точки x0 так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x0,y)|< e для любых y из некоторой окрестности точки y0 . Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x0)- f(x0,y)| можно сделать также < e выбором ещё меньшей окрестности точки y0 для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .

Теорема. Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y®y0 , то

.

Доказательство. |b - a|e .

в) .

Решение. Используя формулу (29), имеем

.

Отсюда и из примера 3 следует

Ответ: интеграл  несобственный и он расходится.

г) .

Решение. Предполагаемая особая точка .

Обозначим , здесь . Функция  определена при . Так как , то, полагая

,

получим непрерывную функцию (даже имеющую производные любого порядка - проверить). Разлагая  по формуле Маклорена, получим

.

Учитывая, что , отсюда получим . Тогда . Значит,

.

Отсюда следует

Ответ: интеграл  несобственный и он сходится.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач