Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Свойства определенного интеграла

1.Простейшие свойства

1)

Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x,y) + g(x,y))dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy. Примеры решения задач курс лекций Площадь поверхности тела вращения Интегральное исчисление.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk , wk колебание функции f+g на Dk . Тогда

wk =sup|f(P¢)+g(P¢) – f(Q¢) – g(Q¢)|£ sup(|f(P¢)– f(Q¢) |+| g(P¢)– g(Q¢)|)£ 

£ sup|f(P¢) - f(Q¢)|+ sup|g(P¢) – g(Q¢)|=w¢k + w¢¢k . Отсюда

S(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk . Дифференциальное исчисление функции одной переменной Логарифмическое дифференцирование

Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательности интегральных сумм

sm(f+g) = sm(f) + sm(g).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.

Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

c f(x,y)dxdy =cf(x,y)dxdy.

Утверждение следует из соотношения s(cf,D,X)= cs(f,D, X) для интегральных сумм.

Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| f(x,y)dxdy | £| f(x,y)|dxdy. Свойства двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции | f | на Dk , а wk колебание функции f на Dk . Тогда

w¢k =sup||f(P¢)| –| f(Q¢)||£ sup|f(P¢)– f(Q¢) |= wk .

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм

|sm(f)|£ sm(|f|).

переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.

Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.

Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|£ M, |g(x,y)|£ M . Пусть w¢k колебание функции  f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk, а wk колебание функции f g на Dk . Выполнено соотношение

f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) =

=  f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)). Откуда следует неравенство

w£ Mw¢¢k + Mw¢k и, следовательно, функция fg интегрируема.

Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точку, в которой f(P0)¹0.

Для заданного e >0 рассмотрим e-окрестность Ue точки P0. Если характеристика разбиения l(D)< e , то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка . Это следует из того, что все, возможно отличные от нуля слагаемые суммы  попадут в Ue .

Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и

 f1(x,y)dxdy = f2(x,y)dxdy .

Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).

Замечание. Можно доказать, что справедливо и утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то

f(x,y) dxdy £ g(x,y) dxdy .

Для сходящейся последовательности интегральных сумм

sm(f)£ sm(g).

Вычисление определенного интеграла.

Понятие «определенный интеграл» было введено в математике для решения определенного класса задач , приводящих к необходимости вычисления интегральных сумм и их пределов. Однако, в дальнейшем была установлена связь между определенным и неопределенным интегралами.

 Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл .

Решение: Так как для функции f(x)=sin(x) функция F(x)=-cos(х) является первообразной, то, применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычисляем данный определенный интеграл: ===.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач