Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике


  Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразование координат

Даны базисы ei ,  и ei , i . Обозначим матрицы связывающие эти базисы ,,,.

i = ej  , ei = j  Þ =  (5) Скалярное и векторное поле. Определение и основные свойства градиента, дивергенции, ротора, потока и циркуляции векторного поля.

Равенство =  в развернутом виде выглядит следующим образом

=,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

j = ei , ej = Þ =  (6)

Последнее равенство в матричном виде: Двойные интегралы в произвольной области Тройные и двойные интегралы при решении задач

=.

Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на k получим выражения для матриц перехода между базисами

(i , ek) = , (ej , k ) = Þ (i , ek ) = .

Таким образом, = . Аналогично показывается, что = . Равенства (5), (6) перепишутся в виде

i = ej  , ei = j  (7)

j = ei , ej = i (8)

Равенства (7), (8) в развернутом виде:

=,

=

(7)

=,

=

(8)

 

Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для контравариантных координат.

Имеем x = i  i = ei x i или x==. Подставляя во второе равенство ei из (7) получим

x = j  x i , откуда j j = j xi и j = xi.

Аналогично из равенств  , ek = I получаем   откуда . Таким образом,

=, =.

Полученные формулы j = xi ,  позволяют сформулировать правило: координаты векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора сопряженного базиса.

и) .

Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки при  и . Поэтому

. Имеем . Отсюда следует, что интеграл  сходится.

Далее, . Отсюда получим, что интегралы  также сходятся.

Наконец, .

Интегралы  однотипны. Поэтому рассмотрим . Имеем

.

Интеграл  сходится при . Отсюда следует, что сходятся интегралы , а значит, и интеграл .

Объединяя результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач