Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике


  Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

Преобразования базисов и координат

Взаимные, сопряженные базисы

В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.

Определение. Базисы ri , rk называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие (ri , rk) = . Примеры решения дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения первого порядка

Теорема. Для любого базиса ri существует единственный взаимный базис.

Из условия r1  r2 , r1  r3 , поэтому этот вектор надо искать в виде c[r2 , r3], из условия (r1 , r1) = 1 находится множитель c. Таким образом,

r1 = [r2 , r3]/( r1 , r2 , r3 ), r2 = [r3 , r1]/( r1 , r2 , r3 ), r3 = [r1 , r2]/( r1 , r2 , r3 ). Эмпирическое распределение Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Любой вектор пространства можно разложить по базисам

x = xk rk =  rk xk .

Координаты xk называются ковариантными координатами, а xk – контравариантными координатами.

Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей наличие индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».

Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. Тоже самое касается жирности шрифта для обозначения вектора.

Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом

x = xk rk = rk xk .

Еще один пример: aicj =  aicj .

Найдем выражение для ко и контравариантных координат

x = xi ri = ri xi Þ

 xi = (x, ri ), xi = (x, ri) (1).

Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса

x = (x, ri ) ri = ri (x, ri) (2)

Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)

xi = (x,rj )(rj,ri) = xj gji (3)

xi = (rj,ri) (x,rj ) = gji xj (4)

Матрицы gji = (rj,ri), gji = (rj,ri) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в качестве x в формуле (2) вектора rj , rj получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощью метрических тензоров

rj = gji ri 

rj = ri gji .

Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью метрического тензора. Умножим первое равенство на rk второе на rk получим

  = gji gik

= gik gji .

Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.

з) .

Решение. Если , то подынтегральная функция имеет особенность при . Поэтому

, (13)

интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, интеграл  - 1-го рода.

Имеем   при . Следовательно, интеграл  сходится при . Далее

,  (14)

 при любом . Следовательно, непрерывная на промежутке   функция  ограничена, т.е. существует положительная константа  такая, что

.  (15)

Из (14) и (15) получим

.  (16)

Так как  сходится, то по теореме сравнения из (16) следует, что сходится интеграл  при любом .

Объединяя результаты, из (13) получим

Ответ: интеграл  сходится при .

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач