Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 

Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы 2-го порядка

rot grad u = [* , *u]= 0

div rot V = (*,[*,V]) = 0

Du = div grad u = (*,*u) = . Оператор Лапласа.

Функция u называется гармонической в некоторой области, если Du =0 в этой области. Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Вычислить длину астроиды

grad div V

rot rot V

Пример 5. (4447) Найти поток вектора гравитационного поля тяготения точечной массы, расположенной в начале координат V=mr через замкнутую поверхность Ф , не проходящую через начало координат в направлении внешней нормали.

В примере 4 было показано, что div V = 0 , поэтому вычисляемый поток будет равен нулю в случае, когда поверхность Ф не охватывает начало координат. В случае, когда гравитационная масса находится внутри области D, ограниченной поверхностью Ф рассмотрим сферу S с центром в начале координат целиком лежащую в области D и ориентированной внутренней нормалью. Тогда поток V через границу области с границей Ф + S ( область D с шаровой полостью ) будет равен нулю. Следовательно, искомый поток будет равен =--=m = m=m=4p m .

Пример 6. (4449) Доказать, что =dxdydz .

=(grad u , n) , откуда из равенства Du = div grad u и формулы Остроградского Гаусса следует требуемое равенство. Графический метод Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Пример 7. Количества тепла, протекающее в поле температуры u за единицу времени через поверхность Ф в направлении ее нормали ( поток градиента температуры ) равен Q=, k – коэффициент внутренней теплопроводности (предполагается константой). По формуле Остроградского Гаусса =-k. Эта величина имеет смысл количества тепла, накопленного телом за единицу времени.

ж) .

Решение. Так как

 при , (12)

то при   подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому интеграл  разбиваем на два интеграла:

,

интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода,  - 1-го рода. Из соотношения (12) и из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл  сходится при  (см. пример 3), т.е. при . Далее

  при .

Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл   сходится при  (см. пример 1). Объединяя эти результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится при .

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач