Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Классы интегрируемых функций Дифференциальное исчисление функции одной переменной Основные правила дифференцирования

1.Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на компакте D функция интегрируема на D.

  Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения D={Dk}

S(f,D) - s(f,D) =, wk (f) = Mk – mk . Примеры решения задач курс лекций Объем тел вращения Интегральное исчисление.

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / ( b – a ). Тогда

S(f,D) - s(f,D) =<=e .

Теорема 2. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывов интегрируема.

Без доказательства.

Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция F(M)= интегрируема на D и

=.

Доказательство. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f|£ M. Пусть e0 >0. Так как область D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество) ее границы D c площадью m(U) < e0 , DÌ U . Можно показать, что существует e раздутие границы D , лежащее внутри U. e раздутие границы D , представляющее собой объединение e окрестностей всех точек границы обозначим через Ue . Так как функция интегрируема на D, то существует d такое, что

S(f,DD)-s(f,DD) < e0 при l(DD)<d, (1)

  где DD – разбиение области D. Пусть разбиение DP области P выбрано с характеристикой l(DP)< min(d,e) . Разобьем для разность сумм Дарбу на три суммы

S(f,DP)-s(f,DP)= =å¢ +墢 +墢¢.

В первой сумме å¢ суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиения Pk пересекаются с границей D. Ко второй сумме 墢 относятся слагаемые, для которых Pk содержаться в D, за исключением попавших в первую сумму. В третьей сумме 墢¢ остаются все остальные слагаемые. Отметим, что в эту сумму попадают слагаемые, равные нулю. Условие l(DP)<e позволяет сделать заключение, что таким образом будут собраны все слагаемые. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм. Определение двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

墢 < e0 в силу (1).

墢¢ = 0, так как в области, где проходит суммирование f=0.

å¢ < 2M墢¢mPk <2Mm(U) < 2M e0.

Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости.

Для доказательства равенства = следует выбрать сходящуюся последовательность интегральных сумм для f и P так, чтобы sm(F)= sm(f) . Для этого нужно выбрать сходящуюся последовательность интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила граница области и подходящим образом подобрать промежуточные точки. А именно, для слагаемых, не попавших в sm(f) промежуточную точку следует выбрать исходя из условия f()=0. В этом случае интегральная сумма по множеству P будет совпадать с интегральной суммой по множеству D.

Интегрирование функции одной переменной.

Определенный интеграл

Пример1: Вычислить определенный интеграл от функции f(x)=4х+3………по отрезку [1,5] пользуясь только определением. Найти среднее значение и провести оценку интеграла на основании введенных определений

Рис. 2

Решение : Интегрирование начинаем с построения интегральной суммы для заданной функции по промежутку интегрирования .

Первый шаг:1) Разбиение отрезка интегрирования. Проведем разбиение отрезка [ 1;5] на n равных частей длиной, тогда длина оьразовавшихся «кусочков»

 Dxi= (b-a)/n= (5-1)/n= 4/n. 

2) Запишем координаты концов кусочков (частей ) разбиения Dxi , соответственно :

для «кусокка»  [xi-1, xi] : xi-1= a + (i – 1) Dxi = 1 + (i – 1)( 4/n ) ;

 xi = a + i Dxi = 1 + i(4/n ) .

3) Выберем точку ξi внутри Dxi и нйдем ее координаты, например ,

в середине отрезка ξi = 1 + (i – 1)( 4/n ) + 4/2n

либо на его концах левом ξi = xi-1 или правом ξi = xi .

4) Теперь найдем значения функции в выбранных точках и построим интегральную сумму. Для ξi в середине отрезка

 f(ζi) =4( 1 + (i – 1)( 4/n ) + 4/2n ) +3 =4+16i/n -16/n+8/n+3=7+16i/n -8/n

составляем сумму

Sn = f(ξ1)Dx1 + f(ξ2)Dx2 + … + f(ξn )Dxn = ={7+16i/n -8/n} 4/n. =

 =28/n+ 64i/n-- 32/n2 =28+64/n(i )-32/n = 28+{(64/n)(1+n)/2}n =28+{(64/n)(1+n)/2}n -32/n =28+32+32n-32n=60

Функция f(x монотонно возрастает , поэтому на левом конце отрезка xi-1 функция принимает значение mi=f(xi-1 ) - наименьшее значение а на правом в точке xi : ξi = xi значение Mi. Подставляя и вычисляя находим, верхнюю и нижнюю суммы

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn = = [4(1 + (i – 1)( 4/n )+3]( 4/n ) = 60 

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn = =[4(1 + i ( 4/n ))+3]( 4/n )=60

Вычисляя предел найденных сумм при n →∞ (maxDxi→0) находим значение определенного интеграла I=60.При этом учитываем, что сумма вида 

=4(n+1)n/2 -образует арифметическую прогрессию и сумма арифметической прогрессии находится по извесиной форме.

Обратите внимание , интегральная сумма и суммы Дарбу имеют в пределе одинаковые значения.

Значение определенного интеграла геометрически определяет площадь криволинейной

( в нашем случае прямолинейной) трапеции.

Оценка интеграла по формуле (8) где M=23, m=7 дает систему неравенств

  ,

которая на графике определяет отношение площадей вписанного прямоугольника высоты m=7 , криволинейной трапеции и описанного прямоугольника высоты M=23 опирающихся на отрезок длиной 4.

Среднее значение функции по отрезку согласно формуле (9) равно

 

и определяет высоту такого прямоугольника, основанием которого служит отрезок [1,5], а площадь равна площади трапеции.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач