Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Определение. Пусть D={Dk}. Колебанием функции f(x) на множестве Dk будем называть величину

wk (f) = sup |f(P) – f(Q)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q из Dk , mk =, Mk =.

отметим, что

S(f,D) - s(f,D) =. Примеры решения задач курс лекций Вычисление объемов тел. Интегральное исчисление.

Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D). Верхняя грань берется во всевозможным разбиениям области D. Аналогично определяется верхний интеграл , как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D).

Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу множества значений верхних сумм Дарбу.

Теорема. Для любого разбиения D данного отрезка справедливы неравенства

s(f,D) £ £ £ S(f,D).

Доказательство. Не очевидным является только неравенство £ . Предположим противное, т.е., что  < . Выберем непересекающиеся e окрестности точек , , +e <- e. По определениям точных граней найдутся два разбиения D1 , D2 такие, что S(f,D1)< +e <- e < s(f,D2), что противоречит свойству сумм Дарбу.

Площадь криволинейной трапеции Тройные и двойные интегралы при решении задач

Пример 11: Исследовать на сходимость несобственный интеграл   второго рода.

Подинтегральная функция f(x)=.  имеет на левом конце a=o промежутка интегрирования особую точку. Воспользуемся предельным признаком сравнения для чего с помощью формулы Маклорена для ex и cosx преобразуем знаменатель подынтегральной функции при x→0

 

Следовательно при x→0 знаменатели дробей являются эквивалентными бесконечно малыми

Так как интеграл  расходится, то расходится и заданный интеграл

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач