Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Криволинейные интегралы

Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.

Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей. Переход в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам.

До конца этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество, а функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными , .

Лемма. Для того, чтобы интеграл

  (4)

( A, B – любые точки из D ) не зависел от пути интегрирования ( а только от начальной и конечной точек A, B ) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю

=0. Двойные интегралы в произвольной области Тройные и двойные интегралы при решении задач

Доказательство (необходимость). Пусть (4) не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых AB=G2 , AB=G1 , C= + G2 .

По условию =, кроме того =, поэтому =+=-=0. Для доказательства достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB=G2 , AB=G1 соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C= + G2 . По условию =0 , откуда, с учетом соотношения =+=-, следует требуемое равенство =.

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы

в области D. (5)

Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет

=0,

откуда по лемме следует требуемое утверждение.

Необходимость. По лемме для любого контура = 0. Тогда по формуле Грина для области D , ограниченной этим контуром =0. По теореме о среднем 0==mD или ==0. Переходя к пределу, стягивая контур к точке, получим, что в этой точке .

Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы подинтегральное выражение Pdx+Qdy являлось полным дифференциалом некоторой функции u в области D

du = Pdx+Qdy  (6)

Достаточность. Пусть (6) выполнено, тогда , .

Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Фиксируем некоторую точку A0 в области D и определим функцию

u(A) = u(x,y)=.

В этом случае

, xÎ[x,x+Dx] (xÎ[x+Dx,x]). Таким образом, существует производная =P. Аналогично, проверяется, что =Q. При сделанных предположениях функция u оказывается непрерывно - дифференцируемой и du = Pdx+Qdy.

Замечание 1. Условие односвязности области D в сформулированных теоремах существенно.

Замечание 2. При доказательстве теоремы 2 была построена функция u(x,y)= . Эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной и называется потенциалом (скалярным) векторного поля (P,Q).

Задача 10. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Первый интеграл вычисляется путем замены , тогда  Имеем

Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:

 

Тогда с учетом формулы (16) получим

Следовательно, исходный интеграл равен

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач