Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Криволинейные интегралы

Формула Грина

Рассмотрим область типа A ( см. рис. ) D={(x,y):y1(x)£ y £ y2(x), xÎ[a,b]}, где y1(x)£ y2(x), две непрерывные функции на отрезке [a,b]. Двойные интегралы в полярных координатах Тройные и двойные интегралы при решении задач

Тройной интеграл При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве.

Границу этой области с положительным направлением обхода обозначим G . Пусть в области D задана функция P(x,y), непрерывная там вместе с . Тогда справедлива формула

= -. (1)

Доказательство. ===-=.

Аналогично, можно показать, что для области типа B (см. рис. )

справедлива формула

= . (2)

Если область является одновременно областью и типа A и типа B , то из (1), (2) для поля =(P,Q) получается формула

  (3)

Формулы (1), (2), (3) называются формулами Грина.

Замечание. Формула (3) верна и для областей более общего вида. В частности, если область можно разбить непрерывными кривыми на конечное число областей, для каждой из которых формула (3) справедлива, то эта формула будет верна и для всей области.

Задача 11. Вычислить .

Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида  (здесь R – рациональная функция;   - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае  Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку  

Тогда   и

Возвращаясь к переменной х с учетом того, что , получим

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач