Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода. Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов. Вычисление двойного интеграла

Для интеграла второго рода будем использовать эквивалентное определение, где в интегральных суммах вместо длины дуги lk используется длина хорды D lk .

Поэтому

=

Слева стоят интегральные суммы для интеграла 2-го рода, а справа стоят суммы, которые при измельчении разбиения будут сходиться к интегралу

, где a=a(x,y,z)  - угол, который образует касательный вектор к кривой G в точке (x,y,z) с осью x, . Отсюда следует, что

=. Производная сложной функции Тройные и двойные интегралы при решении задач

Докажем, что интегральные суммы сходятся к интегралу . Действительно,

==+.

Первая сумма является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения (в силу равномерной непрерывности функции f ).

Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям dy, dz. Откуда, в свою очередь, будет следовать равенство

=, (4)

,,.

Обозначим орт вектора касательной  и введем понятие вектора элемента длины дуги . В этих обозначениях интеграл справа в (4) может быть записан в виде , это интеграл первого рода. Интеграл слева в (4) является интегралом второго рода и его принято обозначать . Таким образом формула (4) в векторном виде может быть записана следующим образом

=.

Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Для плоской замкнутой кривой положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.

Задача 9. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:

Первый интеграл вычисляем, сделав замену , тогда . Имеем

Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: . Тогда с учетом формулы (14) получим

Итак, исходный интеграл равен

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач