Криволинейные интегралы 2-го рода
Связь с интегралом 1-го рода. Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов. Вычисление двойного интеграла
Для интеграла второго рода будем использовать эквивалентное определение, где в интегральных суммах вместо длины дуги lk используется длина хорды D lk .
Поэтому
=
Слева стоят интегральные суммы для интеграла 2-го рода, а справа стоят суммы, которые при измельчении разбиения будут сходиться к интегралу
,
где a=a(x,y,z)
- угол, который образует касательный вектор к кривой G в точке (x,y,z) с осью x, 
. Отсюда следует, что
=. Производная сложной функции Тройные
и двойные интегралы при решении задач
Докажем,
что интегральные суммы сходятся к интегралу . Действительно,
=
=
+
.
Первая сумма является интегральной
для , вторая может быть сделана сколь угодно малой
выбором достаточно мелкого разбиения (в силу равномерной непрерывности функции
f ).
Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям dy, dz. Откуда, в свою очередь, будет следовать равенство
=
, (4)
,
,
.
Обозначим орт вектора касательной
и введем понятие вектора элемента длины дуги 
. В этих обозначениях интеграл справа
в (4) может быть записан в виде 
, это интеграл первого рода. Интеграл слева в (4) является
интегралом второго рода и его принято обозначать 
. Таким образом формула (4) в векторном виде может быть записана
следующим образом
=.
Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Для плоской замкнутой кривой положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.
Задача 9. Вычислить 
.
Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:
Первый
интеграл вычисляем, сделав замену 
, тогда 
. Имеем
Второй
интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: 
.
Тогда с учетом формулы (14) получим
Итак, исходный интеграл равен
