Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы 2-го рода

Определение, существование.

Рассмотрим кривую g с началом в точке A и концом в точке B. Пусть D={Ak} разбиение кривой D={Ak} и ) и X={ Mk } , Mk=(xk , hk , zk ), набор промежуточных точек, Dxj=xj+1 – xj .

Нахождение неопределённых интегралов Формула понижения степени

Для f образуем интегральные суммы

  (1)

Предел сумм (1) при l(D)®0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается

  (2) Двойные интегралы в полярных координатах Тройные и двойные интегралы при решении задач

Характеристика разбиения определяется также, как для интеграла первого рода. Аналогично можно определить интегралы

, .

Замечание. Нетрудно видеть, что если началом выбрать точку B, то все xj  меняют знак, поэтому

  = .

Теорема. Пусть AB задана в параметрическом виде

, tÎ[a, b] (3)

Если (3) непрерывна и x(t) – непрерывно дифференцируема, f – непрерывна на AB, то интеграл (2) существует и

  = .

Доказательство.

==

Последнюю сумму в этом равенстве можно представить в виде

+.

Здесь первая сумма является интегральной для интеграла, а вторая может быть сделана меньше любого наперед заданного e >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции .

Замечание. Зачастую удобно рассматривать интегралы вида

++===

==.

Интеграл   можно интерпретировать, как работу силового поля вдоль пути g .

Задача 6. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида .

Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае ), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение

, следовательно, можно выполнить замену: .

В результате получим

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач