Криволинейные интегралы 2-го рода
Определение, существование.
Рассмотрим кривую g с началом в точке A и концом в точке B. Пусть D={Ak} разбиение кривой D={Ak} и ) и X={ Mk } , Mk=(xk , hk , zk ), набор промежуточных точек, Dxj=xj+1 – xj .
Нахождение неопределённых интегралов Формула понижения степени
Для f образуем интегральные суммы
(1)
Предел сумм (1) при l(D)®0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается
(2) Двойные интегралы в полярных координатах Тройные и двойные интегралы при решении
задач
Характеристика разбиения определяется также, как для интеграла первого рода. Аналогично можно определить интегралы
,
.
Замечание. Нетрудно
видеть, что если началом выбрать точку B, то все 
xj
меняют знак, поэтому
= 
.
Теорема. Пусть AB задана в параметрическом виде
,
tÎ[a,
b] (3)
Если (3) непрерывна и x(t) – непрерывно дифференцируема, f – непрерывна на AB, то интеграл (2) существует и
= 
.
Доказательство.
=
=
Последнюю сумму в этом равенстве можно представить в виде
+
.
Здесь первая
сумма является интегральной для интеграла, а вторая может быть сделана меньше
любого наперед заданного e >0 выбором
достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции 
.
Замечание. Зачастую удобно рассматривать интегралы вида
+
+
=
=
=
=
=
.
Интеграл
можно интерпретировать, как работу силового поля 
вдоль пути g
.
Задача 6. Вычислить 
.
Решение. Это интеграл вида 
.
Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае
), поэтому интеграл можно вычислить следующим
образом. Преобразуем подынтегральное выражение
,
следовательно, можно выполнить замену: 
.
В результате получим
