Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы 1-го рода

Определение, существование Площадь поверхности тела вращения Вычисление определенного интеграла

Рассмотрим спрямляемую кривую g и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Ak}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой D={Ak} . На каждой дуге Ak Ak+1 задана промежуточная точка Mk=(xk , hk , zk ), X={ Mk }, обозначим длину дуги Ak Ak+1 через lk . Характеристикой разбиения D назовем величину l(D) = max lk . Составим интегральные суммы следующего вида Определение тройного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

s(f,D,X)= (1).

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(D), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

. Примеры решения задач курс лекций Формула прямоугольников Интегрирование по частям

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла.

Замечание. Если кривая g плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается .

  Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

, tÎ[a, b] (2)

Теорема. Если кривая (2) непрерывно дифференцируема без особых точек

  (x¢ 2+y¢ 2+z¢ 2¹0), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл существует и имеет место равенство

= (3)

Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение {tj} отрезка [a, b]. Промежуточные точки qj выберем так , что

,

соответствующие точки на кривой g обозначим Mj=(xj ,hj )=( x(qj),y(qj) ). Для интегральной суммы получим

==

Полученная сумма является интегральной суммой для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание 1. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора направления порядка точек разбиения {Ak} ( то, что в дальнейшем будет определяться, как ориентация кривой ). Точки A, B могут совпадать.

Замечание 2. Можно использовать эквивалентное определение интеграла первого рода, где в интегральных суммах вместо длины дуги lk используется длина хорды D lk .

Покажем эквивалентность этих определений для гладкой кривой.

===+.

Второй интеграл в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно мелкого разбиения. Действительно,

=. Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и вторая теорема Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной непрерывности. Таким образом, пределом сумм будет тот же интеграл

.

Задача 4. Вычислить .

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида , , ,

  (- многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции . Итак, положим  

Тогда

Получаем

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач