Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Суммы Дарбу и их свойства Определения.

Пусть функция f(x,y) определена на D и D={Dk} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбу называется сумма

s(f,D)=, mk =. Аналитическая геометрия в пространстве Типовые расчеты (курсовые задания) Матричный метод решения систем линейных уравнений

Верхней суммой Дарбу называется сумма

S(f,D)=, Mk =.

Свойства сумм Дарбу. Примеры решения задач курс лекций Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление.

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа новых линий, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1  D2 .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек XÎD имеют место соотношения

s(f,D) £ s( f,D, X) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D, X), S(f,D) = s( f,D, X).

Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.

2) Если D1  D2 два разбиения D, то

s(f,D1)  £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .

Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достато￿но￿доказат￿ для случая, когда второе разбиение получено из первого разбиением некоторого множества D¢k первого разбиения D1 на два квадрируемых множества D¢¢k, D¢¢k+1. Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Введем обозначения

, , . Нижняя грань по всему множеству D¢k будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Для нижних сумм Дарбу можно записать

s(f,D1)=m¢k mD¢k +..., Определенный интеграл Тройные и двойные интегралы при решении задач

s(f,D2) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 +...

  В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми они отличаются. Таким образом, разность сумм

s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 - m¢k mD¢k = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 -

- m¢k (mD¢¢k +mD¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) mD¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) mD¢¢k+1 ³ 0.

Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.

Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство

s(f,D1)  £ S(f,D2).

Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми линиями двух исходных разбиений. Очевидно D1  D3 , D2  D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства

s(f,D1)  £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),

откуда и следует доказываемое неравенство.

Пример 9: Исследовать условия сходимости несобственного интеграла с помощью определения (15) для разных k:

 ∞ , при k≤1

 ==

   , при k>1 

Полученные результаты позволяют определить , что несобственный интеграл сходится при k>1.

 Пример 10: Исследовать на сходимость несобственный интеграл  С помощью теоремы выбираем функцию сравнения (16) по следующему алгоритму

   откуда k=>1 и интеграл  сходится , следовательно сходится и заданный интеграл.

 Предельный признак сравнения.

 Теорема 7. Если при   и существует конечный предел отношения  то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач