Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы

Замена переменных в тройном интеграле

1.Отображение областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x1,x2,x3) . Примеры решения задач курс лекций Кратные интегралы Интегральное исчисление.

Системы координат

Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением ( регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы )

 (1)

Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x,y,z) и (x1,x2,x3) удобно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными ( в дальнейшем это будут декартовы координаты ) координатами, так и координатами (x1,x2,x3), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x1,x2,x3, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S1 (параметром линии служит первая координата x1 ). Аналогично определяются еще два семейства линий S2 , S3 . При сделанных предположениях через каждую точку будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом задание точки однозначно определяется заданием трех линий l1ÎS1, l2ÎS2, l3ÎS3 . Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две использовать для параметрического задания поверхности. Метод замены переменной Тройные и двойные интегралы при решении задач

 Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V

Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через

  (2)

Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны

.

Для данного базиса единственным образом можно определить базис 1, 2, 3 такой, что (,j)=. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам

1=,2=,3=. (3)

 

 

 

Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.

В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка  правая. Положим H1=, H2=, H3=, величины H1, H2, H3 называются коэффициентами Ламе. В силу ортогональности ( тройка правая )

= H1 H2 H3 , = H2 H3,= H3 H1,= H1 H2.

Откуда следует, что

*= , = , =.

Пример 13. Найти площадь фигуры ограниченной линиями  и .

На рис. 4 представлена фигура , ограниченная параболой и прямой, площадь которой требуется найти.

Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:

Þ

При решении квадратного уравнения системы

x2+x+2=0, получаем два корня х1=-2, х2=1 , которые являются координатами концов промежутка интегрирования для разности функций 

 f1(x)= x2+1, f2(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области). В результате вычислений получаем : площадь области S=25/6. (Выполнить вычисления самостоятельно)

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач