Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы

Тройные и n-кратные интегралы

Сведение тройного интеграла к повторному для областей общего вида Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx – плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x.Для x Î [a,b] обозначим через Dx сечение VÇ Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x Î [a,b]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует и для "xÎ[a,b] существует I(x)=то существует и и

=. Примеры решения задач курс лекций Градиент Интегральное исчисление.

Доказательство. Обозначим через R=[a,b]´ [c,d], [g,h] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию

f*(M)=. Монотонные последовательности Математический анализ

Тогда

=, Rx= [c,d], [g,h].

Для левого и правого интегралов справедливы равенства

=+=.

==.

Замечание. Сечение Dx = VÇ Lx может быть задано в виде

Dx = {(y,z): y1(x) £ y £ y2(x) , z1(x,y) £ z £ z2(x,y)}.

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом (см. рис. ch2_1_32.swf)

==.

D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде D = {(x,y):a £ x £ b, y1(x) £ y £ y2(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда  Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Задача 3. Вычислить .

Решение. Интеграл относится к группе интегралов: , , , где - многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)

  Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим  Найдем

  Тогда

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач