Тройные и n-кратные интегралы
Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда Тройные и двойные интегралы при решении задач Вычисление объемов
Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] ´ [g,h] через D.
Теорема.
Если существует 
и для любого xÎ[a,b]
существует 
, то существует интеграл
и имеет место равенство
=. Примеры решения задач курс лекций Производная
по направлению Интегральное исчисление.
(здесь и в
дальнейшем используются обозначения=
)
Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V :
D={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.
Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]´[yj,yj+1]´[zk,zk+1],i=0,…,n-1,j=0,…,m-1,z=0,…,l-1. Кроме того будем использовать обозначения X=(x,y,z)
mijk=
,
Mijk=
. Для набора промежуточных точек {x
i }, x i Î
[xi,xi+1] будут выполнены неравенства
mijk Dyj
Dzk £
£ Mijk Dyj Dzk,
mijk Dyj Dzk
£ 
£ Mijk Dyj Dzk,
Домножая последние неравенства на Dxi и суммируя, получим
mijk Dxi Dyj
Dzk £
£ Mijk Dxi Dyj Dzk .
Средняя сумма является
интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу
для интеграла , откуда и следует
требуемое равенство.
Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Числовая последовательность Математический анализ Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида
=,
=,
=.
В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом
=,
=.
(используются
обозначения=
)
Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства
=,
=,
=,
Здесь через Dxy , Dzx , Dyz – обозначены прямоугольники [a,b]´ [c,d], [g,h] ´ [a,b], [c,d] ´ [g,h].
ИНТЕГРАЛЫ
Задача 1. Вычислить
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (1),
если сделать замену 
. Дифференцируя
обе части равенства, получим 
, т.е. 
. Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы
интегрирования: если 
, то 
; если 
, то 
.
Следовательно,
