header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
Кратные интегралы
Тройные и n-кратные интегралы
Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда Тройные и двойные интегралы при решении задач Вычисление объемов
Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] ´ [g,h] через D.
Теорема. Если существует
и для любого xÎ[a,b] существует
, то существует интеграл
и имеет место равенство
=
. Примеры решения задач курс лекций Производная по направлению Интегральное исчисление.
(здесь и в дальнейшем используются обозначения
=
)
Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V :
D={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.
Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]´[yj,yj+1]´[zk,zk+1],i=0,…,n-1,j=0,…,m-1,z=0,…,l-1. Кроме того будем использовать обозначения X=(x,y,z)
mijk=
, Mijk=
. Для набора промежуточных точек {x i }, x i Î [xi,xi+1] будут выполнены неравенства
mijk Dyj Dzk £
£ Mijk Dyj Dzk,
mijk Dyj Dzk £
£
Mijk Dyj Dzk,
Домножая последние неравенства на Dxi и суммируя, получим
mijk Dxi Dyj Dzk £
£
Mijk Dxi Dyj Dzk .
Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла
, крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла
, откуда и следует требуемое равенство.
Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Числовая последовательность Математический анализ Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида
=
,
=
,
=
.
В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом
=
,
=
.
(используются обозначения
=
)
Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства
=
,
=
,
=
,
Здесь через Dxy , Dzx , Dyz – обозначены прямоугольники [a,b]´ [c,d], [g,h] ´ [a,b], [c,d] ´ [g,h].
ИНТЕГРАЛЫ
Задача 1. Вычислить
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену
. Дифференцируя обе части равенства, получим
, т.е.
. Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если
, то
; если
, то
.
Следовательно,
Высшая
математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач |