Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы

Тройные и n-кратные интегралы

Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда Тройные и двойные интегралы при решении задач Вычисление объемов

Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]´ [c,d] ´ [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] ´ [g,h] через D.

Теорема. Если существует  и для любого xÎ[a,b] существует , то существует интеграл  и имеет место равенство

=. Примеры решения задач курс лекций Производная по направлению Интегральное исчисление.

(здесь и в дальнейшем используются обозначения= )

Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V :

D={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.

Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]´[yj,yj+1]´[zk,zk+1],i=0,…,n-1,j=0,…,m-1,z=0,…,l-1. Кроме того будем использовать обозначения X=(x,y,z)

mijk=, Mijk=. Для набора промежуточных точек {x i }, x i Î [xi,xi+1] будут выполнены неравенства

mijk Dyj Dzk £ £ Mijk Dyj Dzk,

  mijk Dyj Dzk £ £  Mijk Dyj Dzk,

Домножая последние неравенства на Dxi и суммируя, получим

  mijk Dxi Dyj Dzk £ £  Mijk Dxi Dyj Dzk .

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , откуда и следует требуемое равенство.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Числовая последовательность Математический анализ Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

=,

=,

=.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

=,

=.

(используются обозначения= )

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

=,

=,

=,

Здесь через Dxy , Dzx , Dyz – обозначены прямоугольники [a,b]´ [c,d], [g,h] ´ [a,b], [c,d] ´ [g,h].

ИНТЕГРАЛЫ

Задача 1. Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач