Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы

 

Тройные и n-кратные интегралы Декартова система координат математика решение задач

Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать mD , функция f(M)=f(x,y,z) определенная и ограничена в области D. Предположим, что D разбита на кубируемые части Dk (совокупность {Dk} называется разбиением области D). В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk,zk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

  (1) Примеры решения задач курс лекций Условный экстремум Интегральное исчисление.

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ). Условие MkÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Можно использовать обозначение =.

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X)-J|<e. Математический анализ Элементы математической логики

Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n- мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере mD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества {Dk}. В каждой из подобластей выбераются промежуточные точки xk=()ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={xk}. Интегральной суммой для набора f, D, X  называется выражение

  (1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ).

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.

 

1)

Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.

 

Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

c f(x)dx =cf(x)dx.

Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| f(x)dx | £| f(x)|dx.

Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то

f(x) dx £ g(x) dx .

6) Если m £ f(x) £ M на D, то $ cÎ[m,M] :

 = c mD.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:

  dx = f(x)mD.

7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.

 Второй способ – вычисление объема тел вращения.

 Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 y = f(x)

 


 x

 


Для построения интегральной суммы проведем разбиение отрезка [a, b] на кусочки Δxi 

и через концы образовавшихся отрезков проведем плоскости перпендикулярно оси .

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x=ξi = const представляет собой круг радиуса  и его можно рассматривать как основание цилиндра высотой Δxi, то объем тела вращения может быть легко найден как предел суммы объемов цилиндров по полученной выше формуле:

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач