Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Замена переменных в двойном интеграле. Четность функций математика решение задач

Рассмотрим отображение

и его обратное ,

непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D. Пусть функция f интегрируема в D, тогда

 = . Примеры решения задач курс лекций Экстремум функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Доказательство. Оба интеграла, слева и справа, существуют. Выберем некоторое разбиение области D на подобласти Di и соответствующее ему разбиение области D на множества Di . Тогда

mDi = ==.

Для этих точек (xj,hj ) , (xj,yj ) можно выписать интегральные суммы

.

При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будут сходиться к интегралам

  , ,

соответственно. Комплексные числа Модуль и аргумент комплексного числа Показательная форма комплексного числа

Пример 18: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

 


 Q S

 x H x

 При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

 Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач