Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Замена переменных в двойном интеграле Изменение площади при отображениях. Монотонность функций математика решение задач

Рассмотрим отображение

  и его обратное

удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями, порожденными линиями x=const, h=const плоскости x, h (см. ch1_7_2.swf). Обозначим для краткости x=x(x,h), y=y(x,h), тогда

x(x +Dx ,h)= x +Dx + o(r),  y(x +Dx ,h)= y +Dx + o(r), Примеры решения задач курс лекций Частные производные высших порядков Интегральное исчисление.

x(x ,h +Dh)= x +Dh + o(r),  y(x ,h +Dh)= y +Dh + o(r),

x(x +Dx , h +Dh)= x +Dx +Dh + o(r),

y(x +Dx , h +Dh)= y +Dx +Dh + o(r).

Для вычисления площади фигуры с вершинами

A(x,y), Формула Тейлора для функции нескольких переменных

B(x(x +Dx ,h), y(x +Dx ,h)),

C(x(x +Dx , h +Dh), y(x +Dx , h +Dh)),

E( x(x ,h +Dh), y(x ,h +Dh))

рассмотрим параллелограмм A=A¢, B¢, C¢, E¢ с координатами вершин

A¢=A=(x,y),

B¢=( x +Dx, y +Dx),

C¢=( x +Dx +Dh, y +Dx +Dh),

E¢=( x +Dh, y +Dh) (см. ch1_7_3.swf ).

Этот параллелограмм построен на векторах A¢B¢, A¢C¢,

a=A¢B¢ = ( Dx,Dx), b=A¢C¢ = ( Dh, Dh). Поэтому его площадь равна

½[a,b]½==DxDh.

Вершины A,A¢, B,B¢, C,C¢, E,E¢ отличаются на o(r). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(r2)

m(A¢,B¢,C¢,E¢)=DxDh+ o(r2).

Отсюда, в свою очередь, следует, что площадь области D будет равна

mD== (4).

Докажем последнее равенство для случая, когда область S представляет собой квадрат [a,b]´[a,b] (см. ch1_7_22.swf). Разобьем S на равные части линиями x=xi , h=hj .

В этом случае Dxi=xi+1 - xi = (b - a)/n , Dhj=hj+1 - hj = (b - a)/n , r==(b - a)/n, mD=.

Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n®¥. откуда и следует равенство (4).

Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражение dxdh - элементом площади в плоскости x, h. Равенство (4) позволяет говорить, что модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображении

dxdy = dxdh.

Пример 17: Найти объем шара радиуса R.

  y

 R y

 -R 0 x R x

В поперечных сечениях перпендикулярно оси ОХ шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле y=.

Тогда площадь окружности является функция от х и имеет вид: Q(x) = .

С помощью формулы (21) получаем объем шара:

.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач