Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Замена переменных в двойном интеграле

Отображение плоских областей. Криволинейные координаты.

Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости, плоскость переменных x, h и область S в этой плоскости (см. ch1_7_1.swf). Пусть имеется взаимно однозначное отображение D на S

 (1),

(2). Примеры решения задач курс лекций Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала Интегральное исчисление.

Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих отображений

¹0, ¹0. Преобразование графиков функций математика решение задач

Отметим, что

=1.

В области S рассмотрим некоторую кусочно гладкую кривую

tÎ[a,b].

Ее образ имеет параметризацию

tÎ[a,b]

и будет также кусочно гладкой кривой. Действительно,

 (3).

Если (x¢,h¢)¹(0,0), то и (x¢,y¢)¹(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденной матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречит условию (x¢,h¢)¹(0,0). Пределы функций нескольких переменных Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Определение. Кривая, составленная из точек области D вида

  или

называется координатной линией (см. ch1_7_12.swf). Неявное задание этой линии имеет вид h(x,y)=h0 (x(x,y)=x0).

Определение. Числа x0 , h0 из области S плоскости (x , h) определяющие положение точки (x0 ,y0) из области D плоскости (x ,y) называются криволинейными координатами точки (x0 ,y0). Наоборот, на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (x0 , h0).

Фиксируя значения x или h на плоскости (x ,h) можно получить два семейства координатных линий. При сделанных предположениях две линии одного семейства не пересекаются между собой и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства (см. ch1_7_13.swf).

Интегрирование по частям.

 Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны и дифференцируемы на отрезке

 [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям:

  (14)

 Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пример 6. Вычислить интеграл .

==

== =+ =0.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач