Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Определение двойного интеграла

Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD . Пусть f(x,y) ограниченная функция, определенная в области D (область также ограничена). Разобьем область D на части непрерывными линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема (см. рис. ch1_1_1.swf). Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n-1 называется разбиением области D={Dk}. В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Если функция f(x,y) определена на D, то интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

 (1) Примеры решения задач курс лекций Геометрические приложения определенного интеграла Интегральное исчисление.

Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ). Условие Mk=(xk,hk)ÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется двойным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Для краткости можно использовать обозначение .

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X)-J|<e. Линейное (векторное) пространство Аналитическая геометрия в пространстве Типовые расчеты (курсовые задания)

Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой на D.

Для доказательства свойств интеграла будет полезно следующее замечание. Если функция интегрируема на данном множестве, то можно выбрать какую-нибудь последовательность разбиений Dm этого множества с характеристикой, стремящейся к нулю l(Dm)®0 и некоторым набором промежуточных точек XmÎDm для каждого из разбиений. Тогда для числовой последовательности sm=s(f,D m,X m) будет выполнено равенство

=.

Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностью интегральных сумм. Замена переменных в тройных интегралах Тройные и двойные интегралы при решении задач

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Доказательство проводится, как для функции одного переменного. В случае неограниченности функции на D найдется последовательность точек {P j} из области D, на которой предел функции будет равен бесконечности. Тогда для любой интегральной суммы выбором одной из промежуточных точек можно сделать соответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно большим, не изменяя остальных слагаемых. Для этого следует выбирать в качестве этой промежуточной точки члены последовательности {P j}.

Геометрический смысл двойного интеграла.

 Интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров, основанием которых служат области Dk и высотой f(Mk). При достаточно мелком разбиении D этот суммарный объем естественно считать приближенно равным объему области, ограниченной графиком функции ( поверхность z=f(x,y), считаем, что f>0) плоскостью z=0. Точным значением объема указанной области является интеграл .

Пример 7. Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Задачу решаем непосредственным интегрированием на основании определения. Выписываем следующую последовательность действий согласно формуле (15). Находим первообразную и предел

- предел не существует, следовательно несобственный интеграл расходится.

Пример 8. Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла

Согласно (15)

 - интеграл сходится

  Часто в задаче ставится вопрос о сходимости несобственного интеграла без поиска его первообразной. В этом случае используют следующие теоремы (признаки сравнния):

  Теорема 5: Если для всех  выполняется условие  и интеграл  сходится, то  тоже сходится и  ³ .

 Теорема 6: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие  и интеграл  расходится, то  тоже расходится.

 Т.е. из сходимости несобственного интеграла от большей функции j(x), вытекает сходимость от меньшей и наоборот, если расходится несобственный интеграл от меньшей функции, то расходится и от большей.

 Очень часто в качестве сравнения для выяснения сходимости выбирают несобственные интегралы от функции

  j(x)=.  

 где k – некоторое постоянное число

Исследуем на сходимость несобственный интеграл от этой функции  (16)

 

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач