Математика Вычисление интегралов и рядов

 

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла. К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой . В этом и состоит его геометрический смысл.

Приложения двойного интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Замечание о несобственных двойных интегралах. Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).

Тройной интеграл. Задача о массе пространственного тела.

Приложения тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.

Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства Задача о массе кривой

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: .

Вычисление криволинейного интеграла второго рода Пример. Вычислить интеграл  по трем различным дугам, соединяющим точки A(0,0,), B(1,1,)   - ломаная, соединяющая точки A, C(1,0), B, 

Вычисление площади области по формуле Грина.

Полный дифференциал и его вычисление Формула Ньютона – Лейбница.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала Пример. Вычислить интеграл .

Поверхностные интегралы. Задача о массе поверхности приводит нас к поверхностному интегралу 1 рода, точно так же, как задача о массе кривой привела нас к криволинейному интегралу первого рода.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода Пример. Найти массу поверхности однородной полусферы , z>0 с постоянной поверхностной плотностью W.

Пример. Найти поток радиуса-вектора через полную поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1

Скалярное и векторное поля Пример. Задано поле . При С > 0 поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня – двуполостные гиперболоиды.

Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.

Формула Стокса. Ротор векторного поля.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью

Свойства потенциального поля

Свойства сходящихся рядов. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.

Интегральный признак Коши Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.

Признаки сравнения рядов Пример. Ряд  расходится, так как , а ряд  (гармонический) расходится.

Признак Даламбера.

Радикальный признак Коши

Знакопеременные ряды. Ряд называется знакопеременным, если среди членов ряда содержится бесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительных членов.

Знакочередующиеся ряды. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд имеет вид  .

Функциональные ряды Равномерно сходящиеся ряды.

Степенные ряды Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда

Рядом Тейлора называется степенной ряд вида

Применение степенных рядов. Вычисление значений функций Вычисление интегралов.

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач