Вычисление интегралов и рядов Вычисление двойного интеграла Приложения двойного интеграла Задача о массе пространственного тела Замена переменных в тройном интеграле Задача о массе кривой Задача о массе поверхности векторное поле
Свойства сходящихся рядов Интегральный признак Коши Признак Даламбера. Радикальный признак Коши Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Применение степенных рядов

Приложения тройного интеграла.

Замена переменных в тройном интеграле.

Теорема. Пусть с помощью непрерывных функций x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z =z(u, v, w) имеющих непрерывные частные производные установлено взаимно однозначное соответствие пространственно односвязных ограниченных, замкнутых областей Dxyz, Duvw с кусочно-гладкой границей. Тогда

 , где  - якобиан (определитель Якоби).

Теорема приведена без доказательства.

Цилиндрическая система координат.

 
 


Вводятся цилиндрические координаты r, j, h.

x = r cosj, y = r sinj, z = h. Вычислим якобиан

Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью  и эллиптическим параболоидом ..

Сферическая система координат.

j

x

 

j

 

q

 

r

 

z

 

y

 

Сферические координаты j, r, q.

x = r sinq cosj

y= r sinq sinj

z = r cosq.

Вычислим якобиан

Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если плотность вещества шара   в каждой точке шара пропорциональна расстоянию этой точки от оси OZ.

Приложения тройного интеграла.

Геометрическое приложение – вычисление объема любого пространственного тела.

По свойству 3 тройного интеграла , где  – объем области V.

С помощью двойного интеграла тоже можно вычислять объем, но только цилиндрического тела, а не произвольного.

Пример. Вычислить объем пространственного тела, ограниченного эллиптическим параболоидом  и шаром ( единичного радиуса с центром в точке (0, 0, 1))

.

Механические приложения – вычисление массы пространственного тела, статических моментов, центра тяжести, моментов инерции по формулам, которые выводятся аналогично соответствующим формулам для плоского тела с двойным интегралом ( - плотность вещества тела в каждой точке).

, , . Формулы для моментов инерции запишите сами (например, )

Пример. Определить координаты центра тяжести полушара ,  По симметрии  .

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала