Вычисление интегралов и рядов Вычисление двойного интеграла Приложения двойного интеграла Задача о массе пространственного тела Замена переменных в тройном интеграле Задача о массе кривой Задача о массе поверхности векторное поле
Свойства сходящихся рядов Интегральный признак Коши Признак Даламбера. Радикальный признак Коши Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Применение степенных рядов

Тройной интеграл.

Задача о массе пространственного тела.

Пусть есть некоторое пространственное материальное тело, занимающее область V, в каждой точке которой задана объемная плотность f(x, y, z). Надо вычислить массу пространственного тела.

Эта задача приводит к понятию тройного интеграла.

Введем разбиение области V на элементарные области, не имеющие общих внутренних точек (условие А) Dvk с малым объемом (обозначение области и ее объема обычно одно и то же, это принято уже более 200 лет и не вносит путаницы).

На каждом элементе разбиения – элементарной области отметим точку Mk(xk, yk, zk). Вычислим плотность в этой точке f(xk, yk, zk) = f(Mk) и предположим, что плотность постоянна в элементарной области. Тогда масса элементарной области Dvk приближенно равна = f(Mk) . Суммируя все такие массы элементарных областей (составляя интегральную сумму), приближенно получим массу области V 

Для того, чтобы точно вычислить массу области, остается перейти к пределу при условии (условие B).

Практикум по решению математических задач Вычислить предел функции: .

.

Так задача о массе пространственной области приводит к тройному интегралу

Введем некоторые ограничения на область интегрирования и подинтегральную функцию, достаточные для существования интеграла

Потребуем, чтобы функция f(M) была непрерывна в области V и на ее границе.

Потребуем, чтобы область V была замкнутой, ограниченной, пространственно-односвязной областью с кусочно-гладкой границей.

Область назовем пространственно-односвязной, если ее можно непрерывной деформацией стянуть в точку.

Теорема существования. Пусть область V и функция f(M)=f(x, y, z) удовлетворяют сформулированным требованиям. Тогда тройной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит

1) от выбора разбиения области, лишь бы выполнялось условие А

2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения

3) от способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие B.

Свойства тройного интеграла.

Линейность
а) =+

б) =
Эти свойства, как и для двойного интеграла, доказываются «через интегральные суммы». Составляют интегральную сумму для интегралов, стоящих в левой части равенства, в ней делают нужную операцию (это возможно, т.к. число слагаемых конечно) и получают интегральные суммы для интегралов в правой части. Затем, по теореме о предельном переходе в равенстве, переходят к пределу, и свойство доказано.

Аддитивность (по множеству)
=+

Доказательство проводится, как и ранее, через интегральные суммы с использованием замечания к теореме существования.

Разбиение выбирается и измельчается так, чтобы граница областей V, W состояла из границ элементов разбиения (это можно сделать, учитывая замечание). Тогда интегральная сумма для интеграла в левой части равенства равна сумме двух интегральных сумм, каждая для своего для интеграла в правой части равенства. Переходя к пределу в равенстве, получаем требуемое соотношение.

, где  – объем области V.
Интегральная сумма для интеграла в левой части =

Если f(x, y, z) ³g(x, y, z), то ³.
Переходя к пределу в неравенстве ³(по теореме о переходе к пределу в неравенстве), получим требуемое соотношение.
Следствие. Если f(x, y, z) ³0, то ³0.

Теорема об оценке интеграла. Если m £f(x, y, z) £M, то mV££MV.
Интегрируя неравенство m £f(x, y, z) £M, по свойству 4 получим требуемое неравенство.

Теорема о среднем. Пусть выполнены требования теоремы существования. Тогда
Существует точка С в области V, такая, что f(C) = .

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань   и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на  получим . Но число  заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке  функция должна принимать это значение. Следовательно,  .

Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

y(x,y)

 

j(x,y )

 

Пусть пространственное тело проектируется на плоскость OXY в область D, а на ось OZ в отрезок [c, d].Пусть «верхняя» граница тела описывается уравнением поверхности z = y(x, y), «нижняя» – уравнением z = j(x, y).

Пусть элемент DV пространственного тела V проектируется на плоскость OXY в область Dxy , а на ось OZ в отрезок [z, z+Dz]. Для того чтобы вычислять тройной интеграл как предел интегральных сумм, нужно в интегральной сумме перебирать эти элементы по определенному алгоритму.

Если сначала перебирать элементы в столбце над областью Dxy, от нижней границы до верхней (внутренний интеграл), а затем перемещать область Dxy в D (внешний двойной интеграл), то получим повторный интеграл.

Если сначала перебирать элементы в слое [z, z+Dz] (внутренний интеграл), а затем .перемещать слой на [c, d], (внешний интеграл), то получим повторный интеграл .И в том, и в другом случае тройной интеграл сводится к определенному и двойному интегралам.

Пример. Вычислить массу тетраэдра плотностью f(x, y, z) = z, ограниченного плоскостями x+y+z = 1, x+z =1, x+y = 1, y+z =1.

1

 

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала