Вычисление интегралов и рядов Вычисление двойного интеграла Приложения двойного интеграла Задача о массе пространственного тела Замена переменных в тройном интеграле Задача о массе кривой Задача о массе поверхности векторное поле
Свойства сходящихся рядов Интегральный признак Коши Признак Даламбера. Радикальный признак Коши Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Применение степенных рядов

Применение степенных рядов.

Вычисление значений функций

Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью .

По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.

. Из этого неравенства найдем n, n=2. .

Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.

Вычисление интегралов.

Пример. Вычислить

Решение дифференциальных уравнений.

Пример.

1 способ. Представим  в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами до  (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений и определяются коэффициенты.

.

Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому в разложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциального уравнения.

Разложение проводится по степеням (x - x0), если начальные условия заданы в точке x0.

В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное условие задано в нуле.

.

Подставляем разложения в правую и левую части уравнения .

= . .

Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x5 будут

Отсюда

2 способ. Представим  в виде ряда Тейлора.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала