Вычисление интегралов и рядов Вычисление двойного интеграла Приложения двойного интеграла Задача о массе пространственного тела Замена переменных в тройном интеграле Задача о массе кривой Задача о массе поверхности векторное поле
Свойства сходящихся рядов Интегральный признак Коши Признак Даламбера. Радикальный признак Коши Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Применение степенных рядов

Приложения двойного интеграла.

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

Пусть поверхность s, площадь которой надо вычислить, задана уравнением F(x, y, z) = 0 или уравнением z = f(x, y).

Введем разбиение s на ячейки Dsk, не имеющие общих внутренних точек, площадью Dvk. Пусть область s и ячейки Dsk проектируются на плоскость OXY в область D и ячейки Ddk площадью Dsk. Отметим на ячейке Ddk точку Mk. В точке Qk (ячейки Dsk), которая проектируется в точку Mk, проведем единичный вектор нормали nk {cosak, cosbk, cosgk} к поверхности s и касательную плоскость. Если приближенно считать равными площадь Dvk ячейки Dsk и площадь ее проекции на касательную плоскость,

то можно считать справедливым соотношение Dvk cosgk = Dsk. Выразим отсюда

Dvk=Dsk/ cosgk. Будем измельчать разбиение при условии max diam Dsk ®0, что для кусочно-гладкой поверхности, не ортогональной плоскости OXY, равносильно max diam Ddk ®0. Вычислим площадь поверхности как двойной интеграл

.

Сюда остается лишь подставить .

Если поверхность s задана уравнением F(x, y, z) = 0, то

Поэтому в этом случае .

.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение это можно

свести к уравнению F(x, y, z) = 0 и применить выведенную формулу:

.

Пример. Вычислить площадь поверхности конуса , ограниченной плоскостями

.

.

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dmx = y dm = y r(x, y) ds,

 dmy = x dm = x r(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJx = y2 dm = y2 r(x, y) ds,

 dJy = x2 dm = x2 r(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ0 = dJx + dJy.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J0 = Jx + Jy.

Координаты центра тяжести , где  - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга  с заданной плотностью .

  (это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга  с заданной плотностью  относительно прямой .

.

Эта формула известна в теоретической механике.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала