Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.
К двойному интегралу 
.мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного
над областью D с переменной высотой 
.
В этом и состоит его геометрический смысл.
Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей
собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно
ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы
понять, что мы имеем ту же модель.
Поэтому физический смысл двойного интеграла
заключается в том, что равен
массе плоской области D, плотность которой равна .
Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y2 и x = y2 и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..
|
|
Лекция 2. Приложения двойного интеграла.
Теорема. Пусть установлено
взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv с помощью непрерывных, имеющих
непрерывные частные производные функций 
.
Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда
,
где 
- якобиан (определитель Якоби).
Доказательство
(нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2
– прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении
- ячейку P1, P3, P4, P2.
| P1 y x P3 P4 P2 Q1 Q2 Q4 Q3 v u | Запишем координаты точек Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),
|
Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом,
образованным сторонами 
. Вычислим
площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.
.
Подставляя
в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим 
.
Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную
систему координат 
: 
. 
.
Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды 
.
.
Пример.
Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра 
, ограниченный плоскостью 
в первом октанте.
.
Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.