|
Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.
К двойному интегралу
.мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой
.
В этом и состоит его геометрический смысл.
Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна
, т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.
Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что
равен массе плоской области D, плотность которой равна
.
Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y2 и x = y2 и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..
Лекция 2. Приложения двойного интеграла.
Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций
. Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда
, где
- якобиан (определитель Якоби).
Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении
- ячейку P1, P3, P4, P2.
P1
y
x
P3
P4
P2
![]()
Q1
![]()
Q2
Q4
Q3
![]()
v
u
Запишем координаты точек
Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),
Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованным сторонами
. Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.
.
Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим
.
Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат
:
.
.
Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды
.
.
Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра
, ограниченный плоскостью
в первом октанте.
.
Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.
Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала |