Вычисление интегралов и рядов Вычисление двойного интеграла Приложения двойного интеграла Задача о массе пространственного тела Замена переменных в тройном интеграле Задача о массе кривой Задача о массе поверхности векторное поле
Свойства сходящихся рядов Интегральный признак Коши Признак Даламбера. Радикальный признак Коши Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Применение степенных рядов

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.

К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .

В этом и состоит его геометрический смысл.

Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.

Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что  равен массе плоской области D, плотность которой равна .

Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y2 и x = y2 и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..

Лекция 2. Приложения двойного интеграла.

Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда

, где  - якобиан (определитель Якоби).

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении   - ячейку P1, P3, P4, P2.

P1

 

y

 

x

 

P3

 

P4

 

P2

 

Q1

 

Q2

 

Q4

 

Q3

 

v

 

u

 

Запишем координаты точек

Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),

 

Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.

 .

Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .

Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат : . .

Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .

.

Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью  в первом октанте.

  .

Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала