Вычисление интегралов и рядов Вычисление двойного интеграла Приложения двойного интеграла Задача о массе пространственного тела Замена переменных в тройном интеграле Задача о массе кривой Задача о массе поверхности векторное поле
Свойства сходящихся рядов Интегральный признак Коши Признак Даламбера. Радикальный признак Коши Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Применение степенных рядов

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Раньше во второй лекции мы вычисляли площадь поверхности с помощью двойного интеграла, то есть сводили интеграл  к двойному интегралу. Теперь нам надо свести интеграл к двойному интегралу. Повторяя вновь те же выкладки с той лишь разницей, что под интегралом стоит функция , получим аналогичную формулу для поверхности, заданной соотношением

=.

Если поверхность задана уравнением , точно так же получим формулу

= . Здесь надо учитывать, что точка (x, y, z) лежит на поверхности .

Пример. Найти массу поверхности однородной полусферы , z>0 с постоянной поверхностной плотностью W.

. .

Обозначим D - круг – проекцию полусферы на плоскость OXY.

=

=.

Поверхностный интеграл второго рода.

Поверхность  называется ориентируемой, если в каждой ее точке существует вектор нормали к , - непрерывная вектор – функция на .

Поверхность называется односторонней, если при обходе поверхности по контуру g вектор нормали меняет свое направление на противоположное.

Поверхность называется двусторонней, если при обходе поверхности по контуру g вектор нормали не меняет свое направление.

Примером односторонней поверхности является петля Мебиуса, примерами двусторонних поверхностей – плоскость, сфера, гиперболоиды и т.д.

Задача о потоке жидкости через поверхность.

Поток жидкости через поверхность .– это количество жидкости, протекающее через поверхность в единицу времени.

Пусть на элементе поверхности  площадке в некоторой ее точке M проведен вектор перемещения частицы жидкости через площадку в единицу времени. Предполагаем, что для всех точек  перемещение одинаково по величине и направлению. Поток жидкости можно вычислить как объем наклонного (по направлению вектора перемещений) параллелепипеда, построенного на . Этот объем равен , где - единичный вектор нормали к поверхности. Тогда поток жидкости равен П =

Здесь мы вычисляли дифференциал потока, а затем интегрировали по всей поверхности – это метод дифференциалов при построении интеграла.

Можно строить интеграл с помощью метода интегральных сумм, как мы действовали обычно.

Введем разбиение области на элементы так, чтобы соседние элементы не содержали общих внутренних точек (условие А),

на элементах разбиения отметим точку М. Предполагая перемещение частиц жидкости постоянным на элементе и равным  (M), вычислим приближенно поток через элемент разбиения и просуммируем его по элементам, получая интегральную сумму .

Измельчим разбиение при условии  (условие В) и перейдем к пределу получая поверхностный интеграл второго рода

.

По виду это – поверхностный интеграл первого рода, он и имеет те же свойства, что поверхностный интеграл первого рода, но имеет еще и свойство ориентируемости. Интеграл по внешней стороне поверхности отличается знаком от интеграла по внутренней стороне поверхности, так как на различных сторонах поверхности нормали в той же точке нормали направлены по одной прямой в различные стороны.

Теорема существования формулируется так же, как для поверхностного интеграла первого рода с тем же замечанием о независимости интеграла от способа выбора разбиения (лишь бы выполнялись условия А), от выбора точек на элементах разбиения, от способа измельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала