Вычисление интегралов и рядов Вычисление двойного интеграла Приложения двойного интеграла Задача о массе пространственного тела Замена переменных в тройном интеграле Задача о массе кривой Задача о массе поверхности векторное поле
Свойства сходящихся рядов Интегральный признак Коши Признак Даламбера. Радикальный признак Коши Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Применение степенных рядов

Полный дифференциал и его вычисление.

Теорема (о полном дифференциале). Для того чтобы выражение  - было полным дифференциалом некоторой функции - потенциала, необходимо и достаточно, чтобы в условиях формулы Грина было выполнено одно из следующих четырех условий (эквивалентных условий полного дифференциала)

  зависит только от начальной A и конечной B точек дуги  и не зависит от формы дуги (не зависит от пути интегрирования),

  для любого кусочно-гладкого контура

,

.

Доказательство. Схема доказательства теоремы . По этой цепочке можно последовательно добраться от любого пункта к любому другому.

  Дополнительно предположим, что существуют и непрерывны вторые смешанные производные функции V. Тогда они равны.

.

. Это следует из формулы Грина.

. Пусть точки A, B соединены двумя дугами L1 и L2. Тогда из них можно составить контур , интеграл вдоль которого по п.2 равен нулю.

== -

. Поэтому =.

. Докажем, что  - потенциал, то есть, что

. Докажем первое соотношение, второе доказывается аналогично.

=

Заметим, что такая запись интеграла показывает, что интеграл не зависит от формы дуги. Поэтому мы можем в первом интеграле провести дугу через точку (x, y), чтобы в первом и втором интеграле сократились интегралы по дуге, соединяющей начальную точку с точкой (x, y). В первом интеграле выберем в качестве дуги, соединяющей точку (x, y) с точкой (x+Dx) отрезок прямой, параллельный оси OX. На этом отрезке y не изменяется, поэтому dy=0

Тогда, продолжая равенство, получим

= =

(здесь мы перешли от криволинейного интеграла к определенному, так как дуга интегрирования – отрезок, параллельный оси OX и применили теорему о среднем для определенного интеграла). Теперь используем непрерывность функции P(x, y) по переменной x.

= . Первое соотношение доказано.

  Для доказательства второго соотношения варьируется переменная y, дуга, соединяющая точки (x0, y0), и (x, y+Dy) проводится через точку (x, y) и далее по отрезку, параллельному оси OY, соединяющему точки (x, y) и (x, y+Dy).

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражение

  - полный дифференциал, а функция - потенциал.

Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

, где  - потенциал.

Доказательство. В теореме о полном дифференциале доказано, что потенциал можно записать в виде . Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то дугу, соединяющую точки (x1, y1), (x2, y2) можно провести через точку (x0, y0). Поэтому = +  = -  = .

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

Для любого замкнутого контура  

- полный дифференциал.

Доказательство. Доказательство аналогично двумерному случаю, схема доказательства та же: . Докажите ее самостоятельно.

  проводится по теореме о смешанных производных так же как в двумерном случае.

  проводится по теореме Стокса (будет сформулирована и доказана ниже).

  доказательство полностью аналогично двумерному случаю.

  доказательство аналогично двумерному случаю.

Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива в трехмерном случае и доказывается так же.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала