Интегральное исчисление

Интегрирование дифференциальных биномов m, n, p – рациональные числа.

Сделаем замену x=, xm(a+bxn)pdx=. Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида. Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а) p – целое (a+bt)p tq=R( t, tq ) Примеры решения задач курс лекций Методы интегрирования Интегральное исчисление.

б) q – целое (a+bt)p tq=R( t, (a+bt)p )

в) p+q – целое (a+bt)p tq=

4. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций Элементарная математика Математика лекции примеры решения задач

a) sin x, cos x ) dx

Универсальная тригонометрическая подстановка , x=2 arctg t,

sin x =, cos x = . Нередко к цели быстрее ведут подстановки t=sin x, t=cos x, t = tg x.

б) sinmx cosnx dx, m и n – рациональные.

Замена t = sin x ( или t = cos x ), cos x = , dt =dx, тогда

sinmx cosnx dx = .

с) Интегралы видаcos bx dx, sin bx dx,  arccos bx dx, ,

 arcsin bx dx,  arctg bx dx,  arcctg bx dx, ln x dx вычисляются методом интегрирования по частям. Математика лекции и примеры решения задач Производные высших порядков. Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x).

Пример 6. Найти .

. ▲

Пример 7. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: .

▲ 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (5.9), имеем

.

2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции; функция  терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе . Согласно определению (5.10) получаем

.

Оба несобственных интеграла сходятся. ▼

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач