Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Функциональная зависимость систем функций

Необходимые и достаточные условия зависимости функций.

Определение. Пусть функции

определены и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f1 называется функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая функция Ф :

f1(x) = Ф(f2(x),f3(x),…,fp(x)), " x Î D. Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

Функции y1,…,yp называются функционально зависимыми в области D, если одна из них зависит в D от остальных. В противном случае система называется независимой.

Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть дана система функционально зависимых в области D функций

.

Тогда в любой точке D ранг rang< n .

Доказательство. Предположим для определенности, что

fn(x) = Ф(f1(x),…,fn-1(x)), " x Î D.

Пространство переменных СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

Решить СОЛДУ 

Тогда по правилу дифференцирования сложных функций

.

Эти равенства означают, что n –я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией остальных строк.

Следствие 1. m=0 и система зависимая. Тогда якобиан =0 в области D.

Следствие 2 (достаточное условие функциональной независимости). Пусть rang=n в точке x0 , тогда система независима в D.

Теорема 2 ((достаточное условие функциональной зависимости). Если rang£ r < n в любой точке области D, а в некоторой точке x0 ранг rang= r

¹ 0 . (2)

Тогда

все r функций  являются независимыми в области D,

существует окрестность точки x0, в которой любые из оставшихся функций зависят от выбранных r функций.

Пример 63. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной эллипсом  вокруг оси

Решение. Большая полуось эллипса малая полуось

Построим эллипс. Так как  то при вращении его вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения.

Вычислим обьем этого тела по формуле (2.23):

Ординаты точек  и  являются пределами интегрирования  и  соответственно. Для эллипса точки   и имеют координаты  и  то есть  и  поэтому   Из уравнения эллипса выразим

Получим искомый обьем:

 

Готовых украсить досуг мужчины проститутки в возрасте.
Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач