Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Дифференцируемые отображения

Дифференцируемость. Производные отображения.

Дано отображение y = f(x), x Î Rn , y Î Rp . Это отображение называется непрерывным в точке x0 (будем предполагать, что x0 внутренняя точка области определения и y0=f(x0) ), если для любой окрестности точки U(y0) существует окрестность U(x0) такая, что xÎ U(x0)Þ f(x) Î U(y0). Отображение непрерывное в каждой точке множества называется непрерывным на этом множестве. Можно показать, что непрерывное отображение переводит открытое множество в открытое множество. Обратное тоже верно. Метод простого перебора Приближённое нахождение корней уравнений

Определение. Отображение y = f(x) из DÌRn в D*ÌRp называется дифференцируемым в точке x0 , если в некоторой окрестности точки x0 справедливо равенство

Dfi = +ei r(x,x0), i=1,2,…,p, ei®0 при x®x0 ,

.

Главная линейная часть

L(x,Dx) =

называется дифференциалом отображения f в точке x0 . Иногда L называется производным отображением. Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Теорема (достаточные условия дифференцируемости отображения). Пусть отображение y = f(x) из DÌRn в D*ÌRp определяется дифференцируемыми в точке x0 функциями

,

тогда f дифференцируема и .

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Пример 61. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  (одной волной),  вокруг оси

Решение. Построим плоскую фигуру, вращение которой вокруг оси  образует нужное тело:

Искомое тело состоит из двух тел одинаковых объемов, тогда  Найдем

 

 Тогда искомый обьем

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач