Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Неявные функции

Неявные функции многих переменных.

Определение. Неявная функция, заданная уравнением F(x1,x2,…,xn,y)=0 (или кратко F(x,y)=0) определяется, как функция y=f(x)=f(x1,x2,…,xn) при подстановке которой в уравнение, оно превращается в тождество на некотором множестве

F(x1,x2,…,xn, f(x1,x2,…,xn))=0 , или кратко, F(x,f(x))=0 при xÎD. Ранг матрицы Определение, обозначения и типы матриц

Теорема 2. Пусть

F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M0) точки M0(x0,y0), x0=

F(M0)=0,

.

Тогда существует окрестность Ud(x0) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

" xÎ Ud(x0) : F(x,f(x))=0 и y0 = f(x0). Обратные тригонометрические функции математика решение задач

Эта функция дифференцируема в точке x0 и ее производные определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что . Пусть в Uh(M0) выполнены условия теоремы и , положим d¢ = h/2. Тогда цилиндр B={(x,y):r(x,x0) < d¢,|y - y0|< d¢ } содержится в Uh(M0) так как

r(M,M0)=<.

  Так как в этом цилиндре , то функция F(x0,y) строго возрастает на [y0 - d¢,y0 + d¢]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F(x0, y0 - d¢) < 0 , F(x0, y0 + d¢) > 0. Функции F(x, y0 - d¢) , F(x, y0 + d¢) непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x0 . таким образом, существует d < d¢ " xÎ Ud( x0) : F(x, y0 - d¢) < 0 , F(x, y0 + d¢) > 0 . Тогда для "  Î Ud( x0) функция F(,y) имеет на [y0 - d¢ , y0 + d¢] единственный ноль , F(, ) = 0 (промежуточное значение строго монотонной функции). Функция f : ® , действующая на Ud( x0) является искомой. В силу единственности нуля f(x0) = y0. Построенная функция является функцией неявно заданной уравнение F(x,y)=0 в окрестности Ud( x0). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M0 справедливо равенство

DF=.

Если в этом равенстве положить Dy=Df=f(x) – f(x0), где x= то DF = 0 и все Dxk=0 кроме одного при k=j

Откуда

. Переходя к пределу при M®M0 получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C1 в некоторой окрестности точки x0 .

Приложения определенного интеграла

Пример 54. Найти площадь фигуры, ошраниченной осью  графиком функции  прямыми  и

Решение. Графиком функции  является парабола, симметричная относительно оси ветви которой направлены вверх, вершина лежит в точке с координатами (0;2).

Найдем площадь фигуры по формуле (2.15)

 

 

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач