Нанесение размеров на чертежах деталей
Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

 Интегральное исчисление

Интегрирование некоторых иррациональностей

  1.

  Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Примеры решения задач курс лекций Первообразная функция Интегральное исчисление.

Пример. Функция указанного в интеграле вида представлена ниже

= Дифуры Математика лекции примеры решения задач

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей a,…,g. В рассмотренном выше примере m=18.

2. Подстановки Эйлера

a) a>0,

В этом случае ax2+bx+c=ax2+2 xt+t2, откуда -рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

=R1(t)-рациональная функция от t. Кроме того dx=R2(t)dt.

b) Корни x1,x2 квадратного трехчлена ax2+bx+c вещественные, тогда ax2+bx+c =a(x - x1)(x - x2). Математика лекции и примеры решения задач Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Если x1 = x2 , то =|x – x1| и иррациональность отсутствует. Если x1 ¹ x2, то полагают  и задача сводится к ранее рассмотренной

.

В этом случае можно так же сделать замену .

c) c>0

. В этом случае

ax2+bx+c= x2t2+2 xt+ с, ax+b= xt2 +2t, - рациональная функция. После замены получим

=R1(t) - рациональная функция от t, dx=R2(t)dt.

Можно показать, что этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи (если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax2+bx+c<0 для всех x).

Пример 5. Найти .

▲ Рациональная подынтегральная дробь является правильной (см. методы интегрирования 4) и разлагается на простейшие дроби вида (5.4):

.

Если привести дроби из данного разложения к общему знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной подынтегральной функции. Числители в левой и правой частях последнего равенства будут тождественно равными, т.е.

.

Для нахождения неизвестного коэффициента A используем метод частных значений, т. е. подставим вместо переменной x ее частное значение, совпадающее с вещественным корнем знаменателя, . Получим равенство , откуда следует, что .

Для вычисления значений M, N используем метод неопределенных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного тождества, получаем систему уравнений

Решение этой системы: . Таким образом,

. ▼

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач