Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Неявные функции

Существование неявной функции одного переменного. Определение, обозначения и типы матриц

Пусть F(x,y) определена в окрестности U(M0) точки M0=(x0,y0) . Если

$d > 0 " xÎ(x0 - d, x0 + d) $ yx : F(x, yx )=0 ,

то говорят, что уравнение F(x,y) = 0 определяет на (x0 - d, x0 + d) неявную функцию y =yx = f(x). По определению

F(x, f(x))=0 " xÎ (x0 - d, x0 + d). См. ch6_2_1.swf. Система уравнений с двумя
переменными. математика решение задач

Геометрический смысл. В окрестности точки M0 график функции y=f(x) представляет собой линию пересечения поверхности z=F(x,y) с координатной плоскостью z=0 (См. ch6_2_1_.swf).

Теорема 1. Пусть

F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M0) точки M0(x0,y0),

F(M0)=0,

.

Тогда существует окрестность (x0 - d, x0 + d) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

" xÎ (x0 - d, x0 + d) : F(x,f(x))=0 и y0 = f(x0).

Эта функция дифференцируема в точке x0 и ее производная определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что . Выберем квадрат B=[x0 - d¢, x0 + d¢]´[y0 - d¢,y0 + d¢] содержащийся в U(M0) и такой, что в нем . Тогда функция F(x0,y) строго возрастает на [y0 - d¢,y0 + d¢]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F(x0, y0 - d¢) < 0 , F(x0, y0 + d¢) > 0. Функции F(x, y0 - d¢) , F(x, y0 + d¢) непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x0 . таким образом, существует d < d¢ " xÎ ( x0 - d, x0 + d) : F(x, y0 - d¢) < 0 , F(x, y0 + d¢) > 0 . Тогда для "  Î ( x0 - d, x0 + d) функция F(,y) имеет на [y0 - d¢ , y0 + d¢] единственный ноль , F(, ) = 0 (промежуточное значение строго монотонной функции). Функция f : ® , действующая на ( x0 - d, x0 + d) является искомой. В силу единственности нуля f(x0) = y0. Построенная функция является функцией неявно заданной уравнение F(x,y)=0 в окрестности ( x0 - d, x0 + d). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M0 справедливо равенство

DF=.

Если в этом равенстве положить Dy=Df=f(x) – f(x0), то DF = 0. Откуда

. Переходя к пределу при M®M0 получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C1 в некоторой окрестности точки x0 .

Пример 53. Вычислить интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы интегралов, берущихся по частям:тогда

Подставим полученные результаты в формулу (2.14)

 

 

Получили алгебраическое уравнение относительно данного интеграла:

Решим это уравнение:

 тогда

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач