Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Экстремумы функций многих переменных

Достаточные условия для экстремума.

Лемма. Единичная сфера S=S1(O)={xÎRn:r(x,O)=1} (O=(0,0,…,0)) является замкнутым ограниченным множеством.

Доказательство. Ограниченность очевидна. Замкнутость следует из того, что функция f(x) = r(x0,x) является непрерывной функцией.

Рассмотрим квадратичную форму Нахождение координат вектора в произвольном базисе Векторная алгебра

q(x)= (1),

 

где akj=, xt = x0 + t Dx, Dx = x – x0 , xk = Dxk . Построения на изображениях математика решение задач

Теорема. Если функция f(x) определена в окрестности стационарной точки x0 , имеет там непрерывные частные производные второго порядка, тогда если форма (1) в точке x0

положительно определена, то x0 строгий локальный минимум,

отрицательно определена, то x0 строгий локальный максимум,

знакопеременна, то x0 не является экстремумом

В остальных случаях ничего определенного сказать нельзя.

Доказательство. Для двух точек x0, x положим hk =, тогда h=(h1,…,hn)ÎS1(O) и

f(x) – f(x0) = d 2f(x0)== = =.

В случае 1) q(h)=>r>0, r =  q(h) и поэтому величина f(x) – f(x0) в достаточно малой проколотой окрестности точки x0 будет положительной. Аналогично в случае 2) q(h)=s<0,s =  q(h). В случае 3) $ x¢, x¢¢ : q(x¢ )> 0, q(x¢¢ )< 0 . Рассмотрим xt = x0 + t x¢ , yt = x0 + t x¢¢ , Dx¢ = t x¢ , Dx¢¢ = t x¢¢ , h¢=,h¢¢=. Тогда

f(xt) – f(x0) = ,

f(yt) – f(x0) = .

Это означает, что по направлению xt наблюдается минимум f(xt) – f(x0) > 0 в некоторой проколотой окрестности исходной точки, а в направлении f(yt) – f(x0) < 0, т.е. имеется максимум.

Пример 1. z = x2 + y2 – 12x + 16y на всей плоскости. dz = 2x dx + 2y dy – 12 dx + 16 dy = (2x – 12) dx +2 (y +8) dy. x = 6, y = -4 – стационарная точка. d 2z = 2 dx2 + 2 dy2 – положительно определена. Строгий локальный минимум.

z = sin x2 – arctg y2 , (0,0).

Пример 2. Найти sup, inf функции z = x2 –xy + y2, на множестве |x| + |y| £ 1.

Абсолютный минимум в стационарной начале координат. Максимум равный 1 в вершинах квадрата.

Пример 59. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

Решение. Дифференцируем по  параметрические уравнения циклоиды

тогда

 

Подставляя полученные результаты в формулу (2.21), получаем

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач