Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Экстремумы функций многих переменных

Необходимые условия экстремума.

Пусть u=f(x) определена в окрестности точки x0 .

Локальный максимум в точке x0 : Для некоторой окрестности U(x0) выполнено

"xÎU(x0):f(x) £ f(x0).

Строгий локальный максимум в точке x0 : Для некоторой окрестности U(x0) выполнено

"xÎU(x0), x¹x0 : f(x) < f(x0). Векторное произведение Векторная алгебра

Аналогично определяются минимумы. Локальным экстремумом называется локальный минимум или локальный максимум.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) определена в окрестности точки x0 , имеет в этой точке частные производные первого порядка и x0 экстремум, то все частные производные равны нулю в этой точке.

Доказательство. Теорема Ферма по каждой переменной в отдельности. Конические сечения математика решение задач

Определение. Точка, в которой все частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой функции.

Замечание 1. Стационарность точки x0 эквивалентна условию df(x0)=0.

Замечание 2. Глобальные максимумы или глобальные минимумы функции надо искать среди

стационарных точек,

точек, где не существуют частные производные первого порядка,

граничных точек.

 

Замечание 3. Равенство частных производных нулю не является достаточным для наличия экстремума.

Пример: z = xy, (0,0).

Пример 58. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно  и

находим

   

Знаки  в выражении  указывают, что кривая симметрична относительно оси   точки  и  имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси

Подставляя в формулу (2.19), получим

 

 

пептид hgh frag 176 191
Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач