Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Теорема Лагранжа для функций многих переменных

Определение . Область D называется выпуклой, если для любых двух точек x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn), принадлежащих этой области, этой области будет принадлежать и отрезок их соединяющий, т.е. множество

[x,y]={zÎRn: z = x + t (y – x), tÎ[0,1]}. Матрицы математика решение задач

Теорема. Пусть f(x) Î C1(D), D – выпукла. Тогда для " x0,x1Î D $ xq = x0 + q Dx, qÎ(0,1): Df = f(x1) – f(x0) =.

Доказательство. Пусть x0,x1Î D, xt=x0 +t Dx, Dx = x1 – x0 , F(t) = f(xt) . Функция F(t) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на [0,1]. Тогда

f(x1) – f(x0) = F(1) – F(0) = F¢(q)1=.

Следствие. Если D выпукла и f Î C1(D) и " k " xÎD : , то f º const . Разложение вектора по базису Векторная алгебра

Пример 56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями   

Решение. Показательная функция  возрастающая, так как основание степени больше единицы (2>1). Показательная функция убывающая, так как Построим графики данных функций

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций  и      

Прямой  разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем точку пересечения графиков функций  и

     тогда, согласно формуле (2.17), получим

Найдем точку пересечения графиков функций  и     тогда, используя формулу (2.17), получим:

Таким образом, площадь данной фигуры равна

.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач