Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков. Ранг матрицы математика решение задач

Пусть u = f(x) = f(x1,x2,…,xn), где xk – независимые переменные, так, что Dxk = dxk . Первый дифференциал функции

du = df = = .

Зафиксируем приращения Dxk в этом выражении, тогда df есть функция точки x=(x1,x2,…,xn). Дифференциал d(df) вычисленный для тех же Dxk называется вторым дифференциалом и обозначается d2u . Используя простейшие свойства дифференциала и то, что d2xk = 0 , получим

. Векторная алгебра

Последнее сумма имеет вид суммы возведенной в квадрат

.

Это наблюдение позволяет ввести некоторую удобную форму записи дифференциалов старших порядков. Определим символический дифференциальный оператор

, Df = df

и правила действий с этим символическим оператором

. Согласно этим правилам

D2 = DD = . Отсюда для Dm = D(Dm-1) следует формула

Dm = .

Таким образом, d2f = D2f , dmf = Dmf.

Пример. u = f(x,y), D = . По формуле бинома

dmf = Dmf =.

Определение. Через Cm(G) обозначают множество всех функций, определенных на открытом множестве G, имеющих там непрерывные частные производные до m –го порядка включительно.

Замечание. Дифференциалы высших порядков не инвариантны относительно такого свойства, как независимость переменных функции.

*Пример. u = f(x,y), x = j(t1,…,tm), y = y(t1,…,tm), du = , d2u = .

*Отметим, что в частном случае, когда внутренние функции суперпозиции являются линейными j(t)=a1t1+…+amtm , y(t)=b1t1+…+bmtm , свойство инвариантности дифференциалов высших порядков будет выполняться, так как

*d 2x=d 2j = … = d kx =…= 0, d 2y=d 2y = … = d ky =…= 0 .

*Пример. Пусть u = f(x) (m+1) – раз дифференцируемая в окрестности U(x0) функция и x(t) = x0 + t Dx , F(t) = f(x(t)) . Тогда функция F(t) – (m+1) – раз дифференцируема в некоторой окрестности (-d , 1 + d ) интервала (0,1) и

*dF(t) = df(x(t)) , dF(0) = df(x0),…, d kF(t) = d kf(x(t)) , dkF(0) = d kf(x0) .

Пример 55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и

Решение. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (0;4), симметричная относительно оси  Графиком второй функции  также является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины   то есть вершина в точке (1;-1), парабола симметрична относительно прямой  Построим данную фигуру, площадь которой требуется найти

Найдем абциссы точек пересечения двух графиков:

   

   Получили, что   Согласно формуле (2.17), получим

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач