Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Старшие производные. Первый способ задания функции: табличный Непрерывность функций и точки разрыва

усть f(x,y) определена на D , если существует частная производная  в некоторой окрестности точки M0 , то можно говорить о производной от этой функции

, .

Аналогично определяются производные . Те частные производные, где дифференцирование происходит по разным переменным, называются смешанными. Точно также определяются частные производные второго порядка в общем случае

. Интегрирование функций нескольких переменных ФНП рассматривается на некотором множестве , , . Пусть – ограниченное, связное и замкнутое множество точек из ; впредь для краткости такое множество будем называть фигурой . Интеграл ФНП по фигуре строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры

Производная n – го порядка определяется, как производная от производной n -1 -го порядка. Выбор переменных, по которым производится дифференцирование и порядок этого дифференцирования определяется порядком записи переменных в знаменателе при обозначении производной n – го порядка. Порядок дифференцирования читается справа налево. Например,

.

Теорема (о независимости частных производных от порядка дифференцирования). Пусть u = f(x,y) имеет в окрестности точки M0(x0,y0) смешанные производные  и  непрерывные в самой точке M0 . Тогда в этой точке смешанные производные равны

 = .

Доказательство. Рассмотрим выражение

W =  (1)

Это же выражение можно записать в виде

W =  (2)

Положим j(x) = f( x, y) – f( x, y0) . Из (1) получим

W = == (3)

Теперь положим y(x) = f( x, y) – f( x0, y) . Из (2) получим

W = == (4).

Требуемое равенство получится, если перейти к пределу в (3), (4).

Замечание. Утверждение теоремы справедливо для смешанных производных любого порядка по любым переменным, лишь бы число дифференцирований по каждой переменной в обоих случаях было одно и тоже.

Например,

, при условии, что указанные смешанные производные существуют в некоторой окрестности и непрерывны в самой точке.

При вычислении определенных интегралов широко используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана подстановка

Теорема. Если:

1) функция  и её производная  непрерывны при

2) множеством значений функций  при  является отрезок

3)    тогда

 

 (2.13) 

Формула (2.13) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки  применяют подстановку

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач