Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Геометрический смысл дифференциала.

df = A (x – x0 ) + B(y – y0)

есть приращение аппликаты на касательной плоскости, см. рис. ch5_4_2.swf.

3.Различные способы задания поверхностей.

Поверхность – это отображение вида j : R2 ® R3 . Непрерывность функций и точки разрыва

Явное задание

z = f(x,y), (x,y) Î D.

Параметрическое задание

, w = j(t), wÎR3, tÎR2. Абсолютный экстремум ФНП

Пусть все три функции, определяющие эту поверхность (отображение j ) из класса C1 (класс непрерывно дифференцируемых функций ). Матрица Якоби отображения j определяется следующим образом

 , (u,v)Î D . Обозначим ее миноры второго порядка F23 , F31 , F12 .

, , .

Предположим, что вектор n = (F23 , F31 , F12) ¹ 0 в точке P0(x0,y0). Можно показать, что в этом случае в точке M0(x0,y0,z0) где x0 = x(P0), y0 = y(P0), z0 = z(P0), существует касательная плоскость к поверхности, имеющая нормалью вектор n . Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид

F23(x – x0) + F31(y – y0) + F12(z – z0) = 0.

Неявное задание

F(x,y,z) = 0.

Уравнение касательной плоскости в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид

.

Пример 43. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию. Для этого числитель дроби почленно разделим на знаменатель:

Используя свойство 2 определенного интеграла, получим

Рассмотрим каждый интеграл отдельно. Умножим и разделим числитель первой подынтегральной функции на 2:

Согласно соотношению  получим

Во втором интеграле воспользуемся свойством 1:

Значит, данный интеграл равен

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач