Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Дифференцируемые функции многих переменных

Гладкие поверхности Касательная и нормаль в поверхности.

Пусть f(x) определена на множестве D и M0=(x0,y0) внутренняя точка области D. Рассмотрим поверхность Ф, определяемую графиком функции z=f(x,y) на D. Введем следующие обозначения P=(x,y, f(x.y)) =(M, f(M)), M=(x,y), 

P0=(x0, y0, z0) =(x0,y0, f(x0,y0))= ( M0, f(M0)), M0= (x0, y0 ). Математика лекции примеры решения задач

Плоскость

Z – z0 = A(x – x0) +B(y – y0) (a ),

проходящая через точку P0 называется касательной плоскостью к поверхности Ф, если разность между аппликатой точки P=(x,y, f(x.y)) и точки Q(x,y,z)Î(a ) есть o(r) при r®0 (r = r(M,M0)).

f(x,y) – [z0 + A(x – x0) +B(y – y0)]=o(r(M,M0)) (1) Диффенцирование неявно заданной функции

Теорема. Для существования касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) необходимо и достаточно дифференцируемости функции f в точке M0. Причем коэффициенты A, B ( координаты нормального вектора) равны

.

Доказательство следует из определения дифференцируемости.

Замечание. Касательная плоскость, если она существует, определяется единственным образом.

Вектора  называются единичными нормалями к поверхности в заданной точке.

Определение. Поверхность z = f(x,y) , (x,y)ÎD называется гладкой, если функция f(x,y) непрерывно дифференцируема на D, т.е. имеет там непрерывные частные производные. Геометрически это означает непрерывное изменение касательной плоскости или вектора нормали при перемещении по поверхности.

Пример 41. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 42. Вычислить интеграл

Решение.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач