Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Дифференцируемые функции многих переменных

Производная по заданному направлению Градиент. Комбинаторика Математика лекции примеры решения задач

Пусть u = f(x,y,z) , M0(x0,y0,z0)Î D. градиент функции f в точке M0 определяется по формуле grad f = .

Пусть l единичный вектор ||l ||=1, l =i cos a + j cos b + k cos g , обозначим

M t = (x0 + t cos a , y0 + t cos b , z0 + t cos g )=M0 + t l .

Производной по направлению вектора l называется предел

.

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M0 , то

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Доказательство. r(Mt,M0)=t, (t > 0 ). f(M t) – f(M 0) = . Далее по определению производной по направлению получается требуемое неравенство

==

=

Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.

Задача. Для заданной функции f(x) в точке x0 найти направление, в направлении которого функция f(x) имеет максимальный рост (максимальное убывание).

Решение. Так как l) то искомое направление определяется вектором l = .

Основные методы интегрирования

Согласно формуле Ньютона-Лейбница  при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную  или неопределенный интеграл а затем вычислить разность  значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.

Пример 40. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач