Производная по заданному направлению Градиент. Комбинаторика Математика лекции примеры решения задач
Пусть u = f(x,y,z)
, M0(x0,y0,z0)Î D. градиент функции f в точке M0 определяется по формуле
grad f =
.
Пусть l единичный вектор ||l ||=1, l =i cos a + j cos b + k cos g , обозначим
M t = (x0 + t cos a , y0 + t cos b , z0 + t cos g )=M0 + t l .
Производной по направлению вектора l называется предел
.
Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M0 , то
Производная сложной ФНП по независимому переменному равна
сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных,
умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему
независимому аргументу.
Доказательство.
r(Mt,M0)=t, (t > 0 ). f(M t) – f(M 0) = 
. Далее по определению производной по направлению получается
требуемое неравенство
=
=
=
Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.
Задача. Для заданной функции f(x) в точке x0 найти направление, в направлении которого функция f(x) имеет максимальный рост (максимальное убывание).
Решение.
Так как 
l) то искомое направление определяется
вектором l = 
.
Основные методы интегрирования
Согласно формуле Ньютона-Лейбница
при вычислении определенного интеграла надо сначала найти
первообразную 
или неопределенный интеграл 
а затем вычислить разность 
значений первообразной, поэтому таблица
неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных
интегралов.
Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.
Пример
40. Вычислить интеграл 
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:
