header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
Дифференцируемые функции многих переменных
Производная по заданному направлению Градиент. Комбинаторика Математика лекции примеры решения задач
Пусть u = f(x,y,z) , M0(x0,y0,z0)Î D. градиент функции f в точке M0 определяется по формуле grad f =
.
Пусть l единичный вектор ||l ||=1, l =i cos a + j cos b + k cos g , обозначим
M t = (x0 + t cos a , y0 + t cos b , z0 + t cos g )=M0 + t l .
Производной по направлению вектора l называется предел
.
Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M0 , то
Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.
Доказательство. r(Mt,M0)=t, (t > 0 ). f(M t) – f(M 0) =
. Далее по определению производной по направлению получается требуемое неравенство
=
=
=
Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.
Задача. Для заданной функции f(x) в точке x0 найти направление, в направлении которого функция f(x) имеет максимальный рост (максимальное убывание).
Решение. Так как
l) то искомое направление определяется вектором l =
.
Основные методы интегрирования
Согласно формуле Ньютона-Лейбница
при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную
или неопределенный интеграл
а затем вычислить разность
значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.
Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.
Пример 40. Вычислить интеграл
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:
Высшая
математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач |