Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Дифференцируемые функции многих переменных

Дифференцируемость, частные производные функции многих переменных

Геометрическая интерпретация частных производных.

См. рис. ch5_2_2.swf.

3.Приращение функции. Дифференциал. Возрастание и убывание функции Исследование функций и построение графиков

Некоторые обозначения Df = f(x) – f(x0) , Dxk = xk – xk0 , Dx=( x1 – x10, x2 – x20,…, xn – xn0), аналогичное обозначение для Dy .

Определение. Функция f(x) дифференцируема в точке в точке x0 , если ее приращение представимо в виде

Df = (A,Dx)+o(r),

где (A,Dx)=, r=r(x,x0), o(r)=e(x,Dx)r(x,x0), e(x,Dx)=.

Линейная функция (A,Dx) называется дифференциалом и обозначается

df(x0) =(A,Dx)= A1Dx1 +…+ AnDxn .

Замечание. В определении дифференциала o(r)=er можно записывать в виде

a1Dx1+a2Dx2+…+anDxn=(a , Dx), a - бесконечно малый вектор.

Действительно, имеем er=(e /r)r2=, и обратно, .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Всякая дифференцируемая в точке x0 функция непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Теорема. Если f(x) дифференцируема в точке x0 и df=, то в этой точке существуют все .

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Следствие. Дифференциал (коэффициенты Ak ) определяется однозначно.

Вычислить момент инерции относительно плоскости дуги

Вычислить повторный интеграл

Теорема (достаточные условия дифференцируемости). Если f имеет частные производные в некоторой окрестности точки M0 , непрерывные в самой точке, то f дифференцируема в этой точке.

Доказательство (для случая n = 2). Df = f(x,y) – f(x0,y) + f(x0,y) – f(x0,y0)=+= +aDx+bDy ,

где a , b - бесконечно малые функции.

Пример функции, имеющей частные производные в точке, но не дифференцируемой в точке

f(x,y) = .

Отметим, что |f(x,y)|£|y| Þ непрерывна всюду. , . Если бы она была дифференцируема, то Df = o(r) Þ , или .

При x=y получим .

Пример 34. Найти интеграл

Решение. Так как

то воспользуемся подстановкой

Тогда получим интеграл

Вернемся к исходной переменной

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач