Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Дифференцируемые функции многих переменных

Дифференцируемость, частные производные функции многих переменных

Определение частной производной.

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x,y) на D, M0=(x0,y0) – внутренняя точка. Фиксируем y0 , определяем функцию одного переменного F(x) = f(x,y0) . Если у этой функции одного переменного существует производная в точке x0 , то она называется частной производной и обозначается

 . Асимптоты графика функции Исследование функций и построение графиков

Обозначения для частной производной: ,fx¢ , f1¢ . Аналогично определяется .

Общий случай. f(M) = f(x1,x2,…,xn) определена в окрестности точки x0. Тогда частная производная по первой переменной определяется следующим образом

,…,

.

Замечание. Так как определение частных производных сводится к понятию обычной производной, то справедливы свойства, аналогичные свойствам производных для функции одного переменного. В частности, формулы для производных суммы, произведения и частного двух функций.

Длина дуги в декартовых координатах

Механические приложения Вычислить массу дуги

Пример 49. Вычислить интеграл .

Решение. Заменяя переменную при помощи подстановки  найдем    при   при  

Подставляя, получим

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач