Вещественные и комплексные числа Здесь врач-невролог дает консультации. Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Исследования характера поведения функций Определенные и неопределенные интегралы
Кратные интегралы. Двойной интеграл Тройные и n-кратные интегралы Криволинейные интегралы Элементы теории поля Интегралы, зависящие от параметра Примеры решения задач типового расчета Курс лекций по атомной физике

Равномерная непрерывность функции многих переменных

Терема Кантора

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве D, если выполнено условие Коши:

" e > 0 $ d > 0 " x¢,x¢¢Î D, r( x¢,x¢¢ ) < d : |f(x¢¢) – f(x¢)| < e .

Замечание. Если функция равномерно непрерывна на множестве D , то она непрерывна на этом множестве.

Теорема (Кантор). Непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна там. Исследование функций и построение графиков

Доказательство. От противного.

$ e0 > 0 " d > 0 $ x,yÎ D, r( x,y ) < d : |f(x) – f(y)| ³ e0 .

В качестве d брать последовательность 1/k. В результате получим две последовательности {xk}, {yk}: r( xk,yk ) < 1/k : |f(xk) – f(yk)| ³ e0 . Последовательность {xk} – ограничена, так как D компакт, поэтому из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {}® x0. Из условия r( , ) < 1/km следует, что последовательность {}® x0 (неравенство треугольника r( x0, )£ r( x0, )+ r( , )). Из непрерывности функции следует, что f()® f(x0) , f()® f(y0) , откуда | f() - f()|® 0 , что противоречит неравенству |f() – f()| ³ e0 .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Пример 47. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда

   при   при   Тогда получим

Пример 48. Вычислить интеграл

Решение. Пусть ; при  , при  ;

.

Данный интеграл примет вид:

.

 

Высшая математика Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач